Diffúziós Monte-Carlo-módszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A diffúziós Monte-Carlo-módszer (DMC) egy kvantum Monte-Carlo-módszer, mely a Green-függvényt használja a Schrödinger-egyenlet megoldására.[1] A DMC numerikusan exakt eljárás, ami azt jelenti, hogy megtalálja az exakt alapállapotú energiákat egy adott hibahatáron belül bármely kvantumrendszernél.[2] A gyakorlati számításnál, bozonok esetében, az algoritmus polinomokkal fejezi ki a rendszer méretét, míg fermionok esetében exponenciális kifejezésekkel operál. Ezért igen nagy exakt szimulációk nem lehetségesek fermionok esetében, ennek ellenére megfelelő (fix-csomópontos) közelítésekkel egész jó eredmények érhetők el.

A projektor módszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsük a Schrödinger-egyenletet egy részecskére egy dimenzióban:

i\frac{d\Psi(x,t)}{dt}=-\frac{1}{2}\frac{d^2 \Psi(x,t)}{dx^2} + V(x)\Psi(x,t).

Sűríthetjük a kifejezést egy kissé operátor egyenletként felírva:

H=-\frac{1}{2}\frac{d^2 }{dx^2} + V(x).

így kapjuk:

i\frac{d\Psi(x,t)}{dt}=H\Psi(x,t),

Ahol H egy operátor, és nem egy egyszerű szám vagy függvény. Vannak speciális függvények, a sajátfüggvények, melyekre igaz: H\Psi(x)=E\Psi(x), ahol E egy szám. Ezek azért speciálisak, mert nem számít, hol alkalmazzuk a H operátort a hullámfüggvényre, mindig ugyanazt az E számot kapjuk. Ezeket a függvényeket állandó állapotoknak hívják, mert az idő szerinti deriváltjaik bármely x pontban ugyanaz, úgy hogy a hullámfüggvény amplitúdója sosem változik az időben. Mivel a hullámfüggvény fázisa nem mérhető, a rendszer nem változik az időben. Általában a hullámfüggvény a legalacsonyabb sajátérték energia állapotban érdekes számunkra, vagyis az alapállapotban. Egy kissé más verzióját írjuk fel a Schrödinger-egyenletnek, melynek hasonló energia sajátértéke van, de ez nem oszcillál, hanem konvergens.:

-\frac{d\Psi(x,t)}{dt}=(H-E_0)\Psi(x,t).

A képzetes számot eltávolítottuk a deriváltból, és egy E_0 offset állandót adtunk hozzá., mely az alapállapotú energia. Nem ismerjük az aktuális alapállapotú energiát, de lesz rá mód, hogy meghatározzuk. A módosított egyenlet (hívják még: képzetes idejű Schrödinger-egyenletnek) van néhány érdekes tulajdonsága. Először is ha becsülni akarnánk az alapállapotú hullámfüggvényt, akkor

H\Phi_0(x)=E_0\Phi_0(x)

és az időszerinti derivált zéró. Tegyük fel, hogy egy másik hullámfüggvénnyel indulunk (\Psi), mely nem alapállapotú, de nem is ortogonális hozzá. Ekkor felírhatjuk, mint a sajátfüggvény egy lineáris összegét:

\Psi=c_0\Phi_0+\sum_{i=1}^\infty c_i\Phi_i

Mivel ez egy lineáris differenciálegyenlet, minden részt külön tekinthetünk. Már eldöntöttük, hogy a \Phi_0 állandó. Vegyük a \Phi_1-t. Mivel \Phi_0 a legalacsonyabb energia sajátfüggvény, a kapcsolódó sajátfüggvény \Phi_1-t kielégíti a : E_1 > E_0. tulajdonságot. Ezért a c_1 deriváltja negatív, és végül tart a zéróhoz. Ez elvezet az E_0 meghatározásához. Megfigyelhetjük a hullámfüggvény amplitúdóját az idő múlásával. Ha nő, akkor csökken az offset energia becsült értéke, ha pedig csökken az amplitúdó, akkor nő az offset energia becsült értéke.

Sztochasztikus implementáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Most már van egy egyenletünk, mely az idő múlásával és az E_0 megfelelő beállításával, megtalálhatjuk bármely adott Hamilton-operátor alapállapotát. Ez még mindig egy nehezebb feladat, mint a klasszikus mechanika, de ahelyett, hogy egyedi részecskék terjedésével foglalkoznánk, a teljes függvény terjedését kell vizsgálnunk. A klasszikus mechanikában, szimulálhatjuk a részecskék mozgását a következő állítással: x(t+\tau)=x(t)+\tau v(t)+0.5 F(t)\tau^2, ha feltételezzük, hogy a teljes \tau. idő alatt az erő állandó.A képzetes idejű Schrödinger-egyenletnél ehelyett a konvolúciós integrált használunk egy speciális függvénnyel, mely a Green-függvény, így kapjuk:  \Psi(x,t+\tau)=\int G(x,x',\tau) \Psi(x',t) dx' . hasonlóan a klasszikus mechanikához, csak kis időtartományokkal haladunk előre, máskülönben a Green-függvény nem lesz pontos. Amint a részecskék száma nő, az integrál dimenziói is nőnek, mivel az összes részecske minden koordinátájában kell integrálni. Az integrálást a Monte-Carlo-integrálással végezhetjük el.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • B.L. Hammond, W.A Lester, Jr. & P.J. Reynolds: Monte Carlo Methods in Ab Initio Quantum Chemistry. (hely nélkül): World Scientific. 1994.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Erwin Schrödinger, "The Present situation in Quantum Mechanics," p. 9 of 22. The English version was translated by John D. Trimmer. The translation first appeared first in in Proceedings of the American Philosophical Society, 124, 323-38. It later appeared as Section I.11 of Part I of Quantum Theory and Measurement by J.A. Wheeler and W.H. Zurek, eds., Princeton University Press, New Jersey 1983).
  2. B.L. Hammond, W.A Lester, Jr. & P.J. Reynolds "Monte Carlo Methods in Ab Initio Quantum Chemistry" (World Scientific, 1994)s by Monte Carlo.