Dandelin-gömb

Ellipszis Dandelin-gömbjei

A geometriában egy kúp síkmetszésével szerkesztett, nem degenerált kúpszelethez egy vagy két Dandelin-gömb rendelhető, mely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Minden Dandelin-gömb érinti, de nem hatja át a síkot és a kúpot.

Ezeket a gömböket Germinal Pierre Dandelin tiszteletére nevezték el.

Minden kúpszeletnek mindegyik fókuszához egy-egy Dandelin-gömb tartozik.

• Az ellipszisnek két Dandelin-gömbje van, ezek ugyanazt a félkúpot érintik.
• A hiperbolának két Dandelin-gömbje van, egyik az egyik, másik a másik félkúpot érinti.
• A parabolának csak egy Dandelin-gömbje van.

Dandelin tétele

A Dandelin-gömb a következő tétel miatt tart számot érdeklődésre:

Ahol a Dandelin-gömb érinti a síkot, az a pont a kúpszelet fókusza.

A Dandelin tétel bizonyítása

Tekintsük az ábrát, ahol egy sík egy kúpból ellipszist metsz ki. Az ábrán feltüntettük a két Dandelin-gömböt. Mindkét gömb egy-egy körben érinti a kúpot. Mindkét gömb a síkot egy-egy pontban érinti. Nevezzük ezeket a pontokat $F_1 \,$-nek és $F_2 \,$-nek. Legyen $P \,$ az ellipszis egy tetszőleges pontja. Meg kell mutatnunk, hogy az $\overline{F_1 P} + \overline{F_2 P}$ távolság állandó marad, ha a $P \,$ pont tetszőleges helyzetet foglal el az ellipszis mentén. A $P \,$ ponton és a kúp csúcspontján át húzott egyenes a két kört a $G_1 \,$ és $G_2 \,$ pontban metszi. Ahogy a $P \,$ pontot elmozdítjuk az ellipszis mentén, a $G_1 \,$ és $G_2 \,$ pont is ennek megfelelően elmozdul a körök kerületén. Az $\overline{F_i P}\,$ távolság és a $\overline{G_i P}\,$ távolság egyenlő, mivel mindkettő ugyanabból a pontból ugyanahhoz a gömbhöz húzott érintő. Következésképpen az $\overline{F_1 P} + \overline{F_2 P}$ távolságnak állandónak kell maradnia, ahogy a $P \,$ pont a görbe mentén elmozdul, mivel a $\overline{G_1 P} + \overline{G_2 P}$ távolság is állandó marad.

Hasonló levezetéseket lehet végezni kúp olyan síkmetszetére, amely parabolát és hiperbolát vág ki a kúpból, illetve egyenes körhenger ferde síkmetszetére, amely szintén ellipszist eredményez.

A tétel következményei

Ha az ellipszist úgy definiáljuk (amint az gyakran történik), hogy az azoknak a $P \,$ pontoknak a halmaza, melyekre igaz, hogy $\overline{F_1 P} + \overline{F_2 P} = const$, az előbbi gondolatmenet bizonyítja, hogy a kúp síkmetszete valóban ellipszis. Ebből az is következik, hogy a kúp síkmetszete szimmetrikus az $\overline{F_1 F_2}\,$ egyenesre.

A direktrix a Dandelin-gömbökkel

A Dandelin-gömbök segítségével a direktrixeket is meg lehet találni. Mindkét Dandelin-gömb egy kör mentén érinti a kúpot. A kör síkjának és a metszősíknak az áthatási vonala a direktrix. Ez ellipszisnél és hiperbolánál két direktrixet eredményez, parabolánál csak egyet.

További információk

• Ábrázológeometria kezdőknek
• Középiskolai matematikai és fizikai lapok
• Hop David Dandelin-gömb honlapja
• Dandelin-gömb -- Mathworld
• Math Academy Dandelin-gömb lapja
• Java applet JDandelin