Csoporthatás

A matematikában általában azt mondjuk, hogy egy csoport hat egy téren vagy halmazon, ha a ható csoport megfeleltethető a halmaz transzformációinak valamely részcsoportjával. A csoporthatások egy objektum szimmetriáinak a vizsgálatanak igen hatékony segédeszközéül szolgálnak, ugyanakkor a struktúrák invariánsainak a megkeresésében is kapóra jöhetnek, mint például bizonyos topológikus terek fundamentális csoportjának a kiszámításakor.

Definíció

G csoport (balról) hat X halmazon, ha G minden eleme egy

$X\rightarrow X$ bijekció.

G egységeleme X-en az identitás:

$1x=x \; (\forall x \in X)$

Teljesül az alábbi asszociativitás:

$\varphi(\psi x) =(\varphi\psi) x \;\;(\forall x \in X)(\forall \varphi,\psi \in G )$

Pálya és stabilizátor

Ha G hat X-en, akkor valamely X-beli x pont pályáján, avagy orbitján

$Gx=\{\varphi x | \varphi \in G\}$

halmazt értjük. Ha y rajta van x pályáján, azaz

$y=g\,x$, akkor

$x=g^{-1}\,x$, tehát x is rajta van y pályáján.

Hasonlóan ellenőrizhető, hogy, ha y rajta van x, és z rajta van y pályáján, akkor z rajta van x pályáján. Figyelembe véve, hogy az egységelem mindent sajátmagába visz, ezek alapján kijelenthetjük, hogy X-et partícionálják a G általi pályák.

Egy X-beli x pont stabilizátorának G azon elemeinek halmazát nevezzük, amelyek x-et fixen hagyják. Nyilvánvaló, hogy tetszőleges x pont $S_x$ stabilizátora részcsoportja G-nek. Tekintsük $S_x$ baloldali mellékosztályait. Legyen $\pi' \in \pi S_x$, ekkor

$\pi'=\pi\sigma\; (\sigma \in S_x)$

$\pi'\,x=\pi\sigma\,x=\pi\,x$

Így $S_x$ bármely mellékosztályának tetszőleges két eleme x-et ugyanoda viszi. Most tegyük fel, hogy

$\pi\,x=\pi'\,x$ .

Ekkor legyen:

$\sigma = \pi^{-1}\pi'$ . Így

$\sigma\,x = \pi^{-1}\pi'\,x =\pi^{-1}\,\pi x = x$,

tehát $\sigma$ benne van x stabilizátorában, és

$\pi'=\pi\sigma$, azaz

$\pi'\in\pi S_x$.

Így x stabilizátorának minden mellékosztálya x pályájának egy elemének az ősképe. Ebből következik, hogy $S_x$ indexe x pályájának az elemszáma. Ezt beírva Lagrange tételébe, kapjuk a következő, pálya-stabilizátor tétel néven ismert azonosságot:

$|Gx|\cdot |S_x|=|G|$.

Ha két pont stabilizátora konjugált, akkor azt mondjuk, hogy hasonló a pályájuk.

Burnside-lemma

A pálya-stabilizátor tétel hasznos következménye a Burnside-lemma. Ha G csoport hat X halmazon, akkor a csoportbéli transzformációk fixpontjainak az összegét kiszámolhatjuk úgy is, hogy minden pontnál megszámoljuk, hogy hány transzformációnak a fixpontja. Jelölje P a G általi pályák halmazát:

$\sum_{x \in X}|S_x|=\sum_{x \in X}\frac{|G|}{|Gx|}=\sum_{p \in P}\sum_{x\in p}\frac{|G|} {|p|}=|G|\sum_{p \in P}\frac{|p|}{|p|}=|G|\cdot|P|$

Ezt rendezve kapjuk a Burnside-lemmát:

$\frac{1}{|G|}\sum_{x \in X}|S_x|=|P|$,

ami a bevezetésben foglaltak szerint azt jelenti, hogy egy csoporthatás transzformációi fixpontjainak az átlagos száma éppen a csoport általi pályák száma.

Forrás

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK