Clausen-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a Clausen-függvényt a következő integrál definiálja:[1]

\operatorname{Cl}_2(\theta) = - \int \limits _0^\theta \log|2 \sin(t/2)| \,dt.

A definíció Thomas Clausen (1801 – 1885) dán matematikus nevéhez fűzödik (1932).

A Lobacsevszkij-függvény, Λ vagy Л, lényegében hasonló függvény más változókkal:

\Lambda(\theta) = - \int \limits _0^\theta \log|2 \sin(t)| \,dt = \operatorname{Cl}_2(2\theta)/2.

Meg kell jegyezni, hogy a “Lobacsevszkij-függvény” elnevezés nem teljesen pontos történetileg, mivel Lobacsevszkij képlete hiperbolikus mennyiségekre kissé különböző:

\int \limits _0^\theta \log| \sec(t)| \,dt = \Lambda(\theta+\pi/2)+\theta\log 2

Általános definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s}

mely a komplex s- re érvényes, Re s >1 mellett. A definíció kiterjeszthető az egész komplex síkra az analitikus folytatás módszerével.

Kapcsolat a polilogaritmussal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\operatorname{Cl}_s(\theta)
= \Im (\operatorname{Li}_s(e^{i \theta}))

Kummer-féle kapcsolat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ernst Kummer által felfedezett úgynevezett Kummer-függvény egyike kapcsolódik a polilogaritmushoz:

\operatorname{Li}_2(e^{i \theta}) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta)/4 + i\operatorname{Cl}_2(\theta)

érvényes: 0\leq \theta \leq 2\pi.

Sorozat gyorsítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
1-\log|\theta| - 
\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n

mely érvényes: |\theta|<2\pi. Itt a \zeta(s), a Riemann zéta függvény. Egy még gyorsabban konvergáló formula:

\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 
3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right]
-\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) 
+\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n

A konvergenciát segíti az a tény, hogy \zeta(n)-1 közelít zéróhoz n nagy értékeinél.

Speciális értékek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=G

ahol G a Catalan-állandó.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Leonard Lewin, (Ed.): Structural Properties of Polylogarithms. (hely nélkül): American Mathematical Society, Providence, RI. 2009. ISBN 0821845322  
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds: "Chapter 27.8", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. (hely nélkül): New York: Dover. 1991. 109–113. o. ISBN 9780486612720  
  • Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function". (hely nélkül): . Comp. App. Math. 121. 2000. 11. o.  
  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 9789632790268  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]