Clausen-függvény

A matematikában a Clausen-függvényt a következő integrál definiálja:

$\operatorname{Cl}_2(\theta) = - \int \limits _0^\theta \log|2 \sin(t/2)| \,dt.$

A definíció Thomas Clausen (1801 – 1885) dán matematikus nevéhez fűzödik (1932).

A Lobacsevszkij-függvény, Λ vagy Л, lényegében hasonló függvény más változókkal:

$\Lambda(\theta) = - \int \limits _0^\theta \log|2 \sin(t)| \,dt = \operatorname{Cl}_2(2\theta)/2.$

Meg kell jegyezni, hogy a “Lobacsevszkij-függvény” elnevezés nem teljesen pontos történetileg, mivel Lobacsevszkij képlete hiperbolikus mennyiségekre kissé különböző:

$\int \limits _0^\theta \log| \sec(t)| \,dt = \Lambda(\theta+\pi/2)+\theta\log 2$

Általános definíció

$\operatorname{Cl}_s(\theta) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n\theta)}{n^s}$

mely a komplex s- re érvényes, Re s >1 mellett. A definíció kiterjeszthető az egész komplex síkra az analitikus folytatás módszerével.

Kapcsolat a polilogaritmussal

$\operatorname{Cl}_s(\theta) = \Im (\operatorname{Li}_s(e^{i \theta}))$

Kummer-féle kapcsolat

Ernst Kummer által felfedezett úgynevezett Kummer-függvény egyike kapcsolódik a polilogaritmushoz:

$\operatorname{Li}_2(e^{i \theta}) = \zeta(2) - \theta(2\pi-\theta)/4 + i\operatorname{Cl}_2(\theta)$

érvényes: $0\leq \theta \leq 2\pi$.

Sorozat gyorsítás

$\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 1-\log|\theta| - \sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n$

mely érvényes: $|\theta|<2\pi$. Itt a $\zeta(s)$, a Riemann zéta függvény. Egy még gyorsabban konvergáló formula:

$\frac{\operatorname{Cl}_2(\theta)}{\theta} = 3-\log\left[|\theta| \left(1-\frac{\theta^2}{4\pi^2}\right)\right] -\frac{2\pi}{\theta} \log \left( \frac{2\pi+\theta}{2\pi-\theta}\right) +\sum_{n=1}^\infty \frac{\zeta(2n)-1}{n(2n+1)} \left(\frac{\theta}{2\pi}\right)^n$

A konvergenciát segíti az a tény, hogy $\zeta(n)-1$ közelít zéróhoz n nagy értékeinél.

Speciális értékek

$\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)=G$

ahol G a Catalan-állandó.

Irodalom

• Leonard Lewin, (Ed.).: Structural Properties of Polylogarithms. American Mathematical Society, Providence, RI.. 2009. ISBN 0-8218-4532-2
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds.: "Chapter 27.8", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables,. New York: Dover. 1991. 109-113. o. ISBN 978-0486612720
• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function".. . Comp. App. Math. 121. 2000. 11. o.
• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. Typotex Kiadó. 2009. 109-113. o. ISBN 978-963-279-026-8

Kapcsolódó szócikkek

• http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_1005.htm
• http://mathworld.wolfram.com/ClausenFunction.html
• L-függvény
• Lobacsevszkij-függvény
• Kummer-függvény
• Riemann-féle zéta-függvény
• Spence-függvény
• Konvergencia
• Catalan-állandó