Cauchy–Riemann-egyenletek

A matematikai analízisben az

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$

egyenleteket nevezzük Cauchy–Riemann-egyenleteknek, ahol u(x,y) és v(x,y) nyílt halmazon értelmezett, R-be képező parciálisan differenciálható kétváltozós valós függvények.

A C–R-egyenletek jelentőségére Riemann mutatott rá, amikor igazolta, hogy egy f = u + iv komplex függvény akkor és csak akkor differenciálható komplex módon egy z = x + i y pontban, ha

1. f totálisan differenciálható az (x,y) pontban mint kétváltozós függvény és

2. az u, v komponensfüggvények teljesítik a C–R-egyenleteket az (x,y) pontban.

Geometriai kényszer

Az f:C $\rightarrow$ C holomorf függvény esetén f = f₁ + if₂ komplex differenciálhatósága a z = x + i y pontban a

$f'(z) = \lim_{w\rightarrow 0} \frac{f(z+w)-f(z)}{w}\in \mathbf{C}$

komplex határérték létezését (a komplex derivált létezését) jelenti. Az f = f₁ + i f₂ komplex függvény felfogható f=(f₁,f₂ ): R² $\rightarrow$ R² függvényeknek is. A kérdés, hogy az f kétváltozós függvény

$Df(x,y)=\begin{pmatrix}\cfrac{\partial f_1(x,y)}{\partial x}& \cfrac{\partial f_1(x,y)}{\partial y}\\ \cfrac{\partial f_2(x,y)}{\partial x}& \cfrac{\partial f_2(x,y)}{\partial y}\end{pmatrix}$

Jacobi-mátrixának (deriválttenzorának) létezése milyen kapcsolatban van az f ' (z) komplex derivált létezésével.

Df(x,y) egy, a valós test feletti R² $\rightarrow$ R² lineáris leképezés. Egy ilyen, valós test feletti, A lineáris operátor pontosan akkor komplex test feletti lineáris operátor, ha minden (x,y) vektorra $\textbf{\textrm{A}} \Big( i \cdot (x,y) \Big) = i \cdot \textbf{\textrm{A}} \Big( (x,y) \Big)$ . Lineáris leképezés révén ezt a feltételt elegendő a két szokásos bázisvektorra felírni: (1,0) ∈ R²-re és (0,1) ∈ R²-re. Már csak azt kell felhasználnunk, hogy az i-vel való szorzás R²-ben megfelel az $\textbf{\textrm{M}} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ mátrix-szal való szorzásnak. Tehát a fenti feltétel ekvivalens az $\textbf{\textrm{A}}\textbf{\textrm{M}} = \textbf{\textrm{M}} \textbf{\textrm{A}}$ egyenlőséggel. A Jacobi-mártixra alkalmazva ezt az egyenlőséget pont a C–R-egyenleteket kapjuk.

A komplex derivált kiszámítása

Az eredményhez a komplex derivált definíciójából is eljuthatunk, ha mindkét tengely irányából közelítve adjuk meg a derivált értékét. Legyen

f(z) = u(x, y) + i v(x, y)

és komplex differenciálható z-ben. Ekkor

$f'(z)\,$	$=\lim_{w\rightarrow 0} {f(z+w)-f(z) \over w}$
	$=\lim_{w\rightarrow 0}{u(x+w,y)+iv(x+w,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over w}$
	$=\lim_{w\rightarrow 0}{[u(x+w,y)-u(x,y)]+i[v(x+w,y)-v(x,y)]\over w}$
	$=\lim_{w\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+w,y)-u(x,y)}{w}+i\frac{v(x+w,y)-v(x,y)}{w}\right]}.$

Kifejeztük tehát a deriváltat a parciális deriváltakkal:

$f'(z)={\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x}.$

Hasonlóképpen:

$f'(z)={\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.$

A két irányból kapott értékeknek meg kell egyezniük, így

${\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.$

Két komplex szám pedig akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és imaginárius részeik rendre egyenlők:

${\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}$

${\partial u \over \partial y} = - {\partial v \over \partial x}.$