Cauchy–Hadamard-tétel

A Cauchy–Hadamard-tétel a komplex hatványsorok konvergenciasugaráról szól.

Jelölje R a $\liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$ nem negatív valós számot. Ekkor a $\sum _{n=0} ^{\infty}a_nz^n$ hatványsor abszolút konvergens az (esetleg elfajult) { |z| < R } körben, minden kicsit kisebb { |z| < r } r < R körben egyenletesen is konvergens, és divergens |z| > R -re.

Alkalmazások és következmények

A tétel segítségével belátható, hogy az exponenciális függvény hatványsora mindenütt konvergál a komplex síkon:

$R=\liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{| \frac{1}{n!} |}}= \infty$

A tétel megmagyarázza, hogy miért nem konvergál az $\frac{1}{1+x^2}$ valós függvény hatványsora a ( -1,1 ) intervallumon kívül. Ugyanis a komplex számsíkra kiterjesztve a függvény hatványsora nem konvergálhat nagyobb körben, hiszen a függvénynek pólusa van i-ben.

A Cauchy–Hadamard-tétellel belátható, hogy a hatványsorba fejthető függvények akárhányszor differenciálhatóak, és az n-edik deriváltjuk megkapható a hatványsor formális n-edik deriváltjaként. A tétel következményeként adódik a hatványsor egyértelműsége is.

Bizonyítás

Legyen r₀ olyan, hogy $|a_n|r_0^n \leq M$ egy véges M nem negatív valós számra. Másként

$r_0 \leq \frac{\sqrt[n]M}{\sqrt[n]{|a_n|}}.$

Határátmenettel

$r_0=\liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$

Az egyenlőtlenség a felső határra is fennáll, tehát

$R \leq \liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$

Legyen most

$0 \leq r_0 < \liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}.$

Ekkor az alsó határérték definíciója szerint

$r_0 < \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}},$

ebből

$|a_n|r_0^n < 1,$ ha n elég nagy.

$|a_n|r_0^n$ korlátos, tehát van ilyen M, és így $r_0 \leq R.$ r₀-lal az alsó határértékhez tartva adódik az állítás első felének megfordítása.

Forrás

Halász Gábor: Komplex függvénytan