Cauchy–Hadamard-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Cauchy–Hadamard-tétel a komplex hatványsorok konvergenciasugaráról szól.

Jelölje R a \liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} nem negatív valós számot. Ekkor a \sum _{n=0} ^{\infty}a_nz^n hatványsor abszolút konvergens az (esetleg elfajult) { |z| < R } körben, minden kicsit kisebb { |z| < r } r < R körben egyenletesen is konvergens, és divergens |z| > R -re.

Alkalmazások és következmények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel segítségével belátható, hogy az exponenciális függvény hatványsora mindenütt konvergál a komplex síkon:

R=\liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{| \frac{1}{n!} |}}= \infty

A tétel megmagyarázza, hogy miért nem konvergál az \frac{1}{1+x^2} valós függvény hatványsora a ( -1,1 ) intervallumon kívül. Ugyanis a komplex számsíkra kiterjesztve a függvény hatványsora nem konvergálhat nagyobb körben, hiszen a függvénynek pólusa van i-ben.

A Cauchy–Hadamard-tétellel belátható, hogy a hatványsorba fejthető függvények akárhányszor differenciálhatóak, és az n-edik deriváltjuk megkapható a hatványsor formális n-edik deriváltjaként. A tétel következményeként adódik a hatványsor egyértelműsége is.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen r0 olyan, hogy |a_n|r_0^n \leq M egy véges M nem negatív valós számra. Másként

r_0 \leq \frac{\sqrt[n]M}{\sqrt[n]{|a_n|}}.

Határátmenettel

r_0=\liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}

Az egyenlőtlenség a felső határra is fennáll, tehát

R \leq \liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}

Legyen most

0 \leq r_0 < \liminf _{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}.

Ekkor az alsó határérték definíciója szerint

r_0 < \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}},

ebből

|a_n|r_0^n < 1, ha n elég nagy.

|a_n|r_0^n korlátos, tehát van ilyen M, és így r_0 \leq R. r0-lal az alsó határértékhez tartva adódik az állítás első felének megfordítása.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Halász Gábor: Komplex függvénytan