Catalan-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Catalan-sejtés vagy Mihăilescu-tétel a számelmélet egyszerűen megfogalmazható tétele, amelyet a belga Eugène Charles Catalan fogalmazott meg 1844-ben. A tétel szerint a 8= 2³ és 9 = 3² az egyetlen példa közvetlen egymásutáni teljes hatványokra.

Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az

xa ‒ yb = 1

egyenlet egyetlen megoldása x,a,y,b > 1 egész számok esetén:

3²  ‒ 2³ = 1

Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett exponenciális diofantoszi egyenletre. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor a, b prímszámok. Carl Ludwig Siegel egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített a, b esetén csak véges sok megoldás van. Robert Tijdeman 1976-ban, felhasználva Alan Baker logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül Preda Mihǎilescu 2002-ben bebizonyította Catalan sejtését, tehát az most már sejtésből tétellé vált.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A probléma Levi ben Gershonig követhető vissza, aki 1343-ben belátta azt az esetet, amikor x és y 2 vagy 3.

1976-ban Robert Tijdeman a transzcendenciaelmélet Baker-módszerét alkalmazta, és korlátokat adott a-ra és b-re, továbbá felülről becsülte mind a négy számot a és b függvényével és az addig ismert korlátok felhasználásával. A korlátra exp exp exp exp 730 adódott.[1] Ezzel véges, de nagy számú kivétellel megoldotta a Catalan-sejtést. A korlát kezelhetetlenül nagy, és a bizonyítás befejezése túl sok erőforrást igényelne.

Preda Mihăilescu 2002-ben befejezte a bizonyítást, és a Journal für die reine und angewandte Mathematik folyóiratban, 2004-ben publikálta. Nem a régebbi ötletet vitte tovább, hanem körosztási testeket és Galois-modulusokat használt. Yuri Bilu a Bourbaki-szemináriumon mutatta be a bizonyítást.

Pillai-sejtés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Pillai-sejtés a teljes hatványok különbségeivel foglalkozik. S. S. Pillai vetette fel, hogy a hatványszámok különbségei a végtelenbe tartanak. Ekvivalensen, minden pozitív egész véges sokszor áll elő két hatványszám különbségeként. Általánosabban, az A, B, C rögzített egészekre az |Ax^n - By^m| \gg x^{\lambda n} különbség minden λ-ra 1-nél kisebb.[2]

Az általános sejtés az abc-sejtés következménye lenne.[2][3]

Erdős Pál szerint van egy c szám, hogy ha d két n-edik hatvány különbsége, akkor elég nagy n-re d>nc.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Ribenboim, Paulo. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. Springer-Verlag (1979). ISBN 0-387-90432-8 
  2. ^ a b Narkiewicz, Wladyslaw. Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, 253–254. o (2011). ISBN 0-857-29531-4 
  3. Schmidt, Wolfgang M.. Diophantine approximations and Diophantine equations, 2nd, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag (1996). ISBN 3-540-54058-X 

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]