Bázis (lineáris algebra)

A lineáris algebrában egy vektortér bázisa egy olyan vektorhalmaz, melyben lévő elemek egymástól lineárisan függetlenek és lineáris kombinációik megadják a vektortér minden elemét (azaz generátorrendszert alkotnak). A bázis egy minimális számú generátorrendszere a térnek és egy maximális számosságú, egymástól lineárisan független elemekből álló részhalmaza is egyben.

Definíció

Vektorok egy B ⊆ V halmaza (ami lehet véges vagy végtelen) sok definíció szerint akkor bázis (Hamel-bázis), ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. A „lényegében” szó itt arra utal, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól.

A definíció kibontása véges dimenzióban

Legyen $V$ egy $K$ feletti vektortér (jel.: $_{K}V$), $B=(v_{1},v_{2},...,v_{n})$ a vektortér bázisa, ha

1.)   a $B$ generátorrendszere $V$- nek:

Bármely $_{K}V$ $v$ vektora esetén egyértelműen léteznek $k_{1},k_{2},...,k_{n}K$- beli skalárok úgy, hogy $\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}=v$

Ebben az esetben a $k_{1},k_{2},...,k_{n}$ skalárokat a vektor $B$ bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.

2.) $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ egymástól lineárisan független vektorok:

Ha $\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}=0$, akkor $k_{1}=k_{2}=...=k_{n}=0$.

A $_{K}V$ vektortér dimenzióját a $B$ bázis számossága adja meg:

$\dim _{K}V=|B|$

Ennek következménye, hogy ha $_{K}Vn$ dimenziós vektortérnek $B$ és $B'$ vektorlisták egyaránt bázisai, akkor $|B|=|B'|=n$.

Kicserélési tétel (Steinitz-tétel)

Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_n generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely f_i-hez található olyan g_j, hogy

$\mathbf {f} _{1},\ldots ,\mathbf {f} _{i-1},\mathbf {g} _{j},\mathbf {f} _{i+1},\ldots ,\mathbf {f} _{n}$

is lineárisan független rendszer.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f₁-re ez nem igaz, vagyis az f₂,…,f_n vektorokhoz akármelyik g_j-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Tehát f₂,…,f_n független rendszerből előállítható g₁,..., g_n generátorrendszer bármely eleme. Ebből következik, hogy f₂,…,f_n bázis. Így V minden eleme, speciálisan f₁ is előáll f₂,…,f_n lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f₁,…,f_n lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel

Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_k generátorrendszer egy V vektortérben.

Ekkor n ≤ k.

Bizonyítás

Első lépésben f₁-et cseréljük ki valamelyik g_j-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f₂-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az f_i-k el nem fogynak.

Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.

Következmény

Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Végtelen elemszám esetén ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

Tulajdonságok

• Minden vektortérnek van bázisa.
  • Végtelen dimenzióban ez az állítás a Zorn-lemma következménye; valójában vele ekvivalens.
  • Az állítás következménye, hogy adott test felett adott dimenzióban izomorfizmus erejéig pontosan egy vektortér létezik.
• Egy vektortérnek több bázisa is lehet.
• Legyen $_{K}V$ , $_{K}S$ résztere $_{K}V$-nek. Legyen $B'$ a $_{K}S$ nek bázisa, ekkor a $B'$ bázist ki lehet egészíteni úgy $V$- beli vektorokkal, hogy az bázisa legyen $V$-nek.

Koordináták

Egy V vektortérben, egy rögzített b₁,…,b_n bázis mellett tetszőleges v ∈ V vektor egyértelműen írható fel

$\mathbf {v} =\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {b} _{n}$

alakban.
Ekkor az $\alpha _{i}\$ skalárok a v vektor koordinátái, a b₁,…,b_n bázisra vonatkozólag.

Báziscsere

Legyen $_{K}V$ vektortérben $B=(v_{1},v_{2},...,v_{n})$ és $B'=(v'_{1},v'_{2},...,v'_{n})$ bázis.

a.) Ha $v$ a $V$ egyik vektora, úgy, hogy $v=\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}$, akkor a $[v]_{B}=(k_{1},k_{2},...,k_{n})$ a $v$ vektor felírása a $B$ bázisban

b.) Legyen $t_{i}jK$-beli elem minden $i$-re és $j$-re. Felírható a következő egyenletrendszer:

$v'_{1}=t_{11}v_{1}+t_{21}v_{2}+...+t_{n1}v_{n}$

$v'_{2}=t_{12}v_{1}+t_{22}v_{2}+...+t_{n2}v_{n}$

$...$

$v'_{n}=t_{1n}v_{1}+t_{2n}v_{2}+...+t_{nn}v_{n}$

Ekkor a $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ vektorokhoz tartozó együtthatókat rendre beírjuk egy mátrix oszlopaiba, a keletkezett mátrix a $B'$ bázisból $B$ bázisba való áttérési mátrix lesz.

$\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}&\cdots &t_{1n}\\t_{21}&t_{22}&\cdots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n1}&t_{n2}&\cdots &t_{nn}\end{pmatrix}}$

Példák

• a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
• hasonlóan $\mathbb {E} ^{3}$ -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas

$\mathbf {i} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {j} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {k} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

• $\mathbb {R} ^{n}$-ben ortonormált bázist alkot az

$\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\ldots ,\mathbf {e} _{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$

vektorhalmaz, mely $\mathbb {R} ^{n}$ standard bázisa.

• $\mathrm {F} ^{n\times k}$ -ban bázis

${\begin{pmatrix}1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}_{n\times k},{\begin{pmatrix}0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}_{n\times k},\ldots ,{\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &1\end{pmatrix}}_{n\times k}$

ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.

• az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az

$\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \}$

vektorok.

• a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa: $\{1,x,x^{2},\ldots ,x^{k}\}$

Általánosítás

A test feletti vektortér fogalmának általánosítása a gyűrű feletti modulus. Az állítás, miszerint minden vektortérnek van bázisa, nem általánosítható modulusokra. Ennek hátterében az áll, hogy a gyűrű nem minden eleme invertálható. Egy modulusnak akkor és csak akkor van bázisa, ha a modulus szabad.