Bolzano–Weierstrass-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Bolzano–Weierstrass-tétel a matematika analízis nevű ágának egyik fontos, és a topológiában messzemenőkig általánosítható tétele. Alapesetben valós számsorozatokról szól: azt mondja ki, hogy korlátos sorozatból mindig kiválasztható konvergens részsorozat. Ebben a formában néha Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételnek is nevezik. A tétel azért jelentős, mert motiváló szerepe van a Hausdorff-féle topologikus tér kompakt halmazainak sorozatok segítségével történő jellemzésében.

A tétel állítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Minden korlátos, valós számsorozatnak van konvergens részsorozata.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Intervallumfelezéssel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen (an) korlátos számsorozat, ekkor (an) lefedhető valamely [α,β] korlátos és zárt intervallummal. Intervallumfelezéses eljárással rekurzív módon definiálni fogunk egymásba skatulyázott, nullához tartó hosszúságú intervallumok (Ik) sorozatát a következőképpen.

  • I_0:=[α00]:=[α,β]
  • Ha k természetes szám, és Ik=[αkk] már definiálva van, akkor osszuk két egyenlő hosszúságú részre: Ik = [αk,ck] U [ckk]. Valamelyikben a sorozatnak bizonyosan végtelen sok különböző indexű tagja van (ellenkező esetben ugyanis nem beszélhetnénk végtelen sorozatról). Természetesen előfordulhat, hogy mindkettőbe végtelen sok tag esik. A meghatározottság kedvéért legyen Ik+1 a két fél közül az az intervallum, melyben végtelen sok különböző indexű tag esik és ezek közül a „jobb oldali” félintervallum. (Ezzel azt értük el, hogy az intervallumsorozat minden tagjában lesz sorozatbeli elem.)

A Cantor-axióma (vagy Cantor-féle közöspont tétel) szerint, mely az egymásba skatulyázott intervallumokról szól az (Ik) intervalumsorozatnak létezik egyetlen közös pontja, legyen ez c.

Megállapíthatjuk, hogy minden k természetes számra végtelen sok olyan i index (természetes szám) van, hogy aiIk, tehát minden k természetes számra igaz, hogy

H_k=\{i\in \mathbb{N}\mid a_i\in I_k\}\ne \emptyset.

Megjegyezzük, hogy a természetes számok jólrendezési tulajdonsága miatt ezeknek a nemüres halmazoknak van minimális elemük. Ezekből a halmazokból kell kiválasztanunk egy (ik) indexsorozatot (tehát egy szigorúan monoton növekvő sorozatot). Ezt szintén rekurzióval tesszük.

  • i0:=min H0
  • Ha már ik definiálva van minden k-nél nem nagyobb természetes számra, akkor legyen ik+1 az a szám, amelyik nagyobb az eddig definiált véges sok elemtől és a legkisebb ilyen elem Hk+1-ben.

Ekkor az

(a_{i_k})

sorozat c-hez konvergál.

Vegyük észre, hogy bár kiválasztásról van szó, mégsem kellett használnunk a kiválasztási axiómát, hiszen a természetes számokat a szokásos rendezés jólrendezi, így mindig konstruktívan (egyértelműen megnevezve) tudtunk kijelölni egy elemet a nemüres részhalmazaiból.

Csúcselemmel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Belátjuk, hogy minden valós sorozatból kiválasztható monoton részsorozat.

Ehhez először vezessük be a csúcselem fogalmát. a_k-t csúcselemnek nevezzük, ha minden n \geq k esetén a_n \leq a_k. (Vagyis azokat az elemeket nevezzük így, amelyeknél a nagyobb indexű elemek között nincs nagyobb.)

Ekkor két eset lehetséges:

  1. Végtelen sok csúcselem van a sorozatban. Ha n_1 < n_2 < n_3 < \ldots indexek, melyekre a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots csúcselemek, akkor ez utóbbi sorozat nyilvánvalóan monoton csökkenő.
  2. Véges sok csúcselem van a sorozatban. Vagyis létezik n_0, hogy minden n>n_0 esetén a_n nem csúcselem.
  • De a_{n_0} nem csúcselem, vagyis létezik n_1 > n_0, hogy a_{n_1} > a_{n_0}.
  • De a_{n_1} nem csúcselem, vagyis létezik n_2 > n_1, hogy a_{n_2} > a_{n_1} stb.

Ekkor viszont a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, \ldots nyilván szigorúan monoton növő sorozat.

Vagyis minden sorozatnak van monoton részsorozata. De a mi sorozatunk egyben korlátos is, márpedig korlátos monoton sorozat konvergens.

Borel–Lebesgue-tétellel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azt fogjuk belátni, hogy a sorozatnak van sűrűsödési pontja, azaz olyan pont, melynek minden nyílt környezetében van végtelen sok sorozatbeli elem. Ekkor ugyanis már kiválasztható az u sűrűsödési helyhez konvergáló részsorozat: minden n-re: b_n = min{ i > n | |a_i-u| < δ_n}, ahol δ_n egy szigorúan monoton csökkenő nullsorozat.

Legyen [a,b] olyan korlátos és zárt intervallum, mely lefedi a sorozatot. Tegyük fel indirekt módon, hogy a_n-nek nincs sűrűsödési helye. Ekkor minden x[a,b]-nek létezik olyan nyílt környezete, melyben csak véges sok sorozatbeli elem van. Az [a,b] intervallum ezen halmazokból álló nyílt lefedéséből kiválasztható véges sok, mely még mindig lefedés, éspedig a Borel–Lebesgue-tétel miatt. Tehát a sorozatnak összesen véges sok szor véges sok, azaz véges sok eleme eshet [a,b]-be, ami ellentmond annak, hogy a sorozatnak végtelen sok tagja van és ez mind [a,b]-ben van.

Következmény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az előbbi tétel múlhatatlan fontosságú következménye, hogy egy R-beli halmaz pontosan akkor korlátos és zárt, ha kompakt. Itt egészen pontosan sorozatkompaktságról van szó, azaz arról, amikor egy tetszőleges H ⊆ R halmazra teljesül, hogy minden H-beli értékeket felvevő sorozatnak van H-beli határértékű konvergens részsorozata. Az alábbi tételt néha szintén Bolzano–Weierstrass-tételnek nevezik (csak ekkor nem mondják oda a „kiválasztási” jelzőt).

Tétel – Egy H ⊆ R halmaz akkor és csak akkor korlátos és zárt, ha sorozatkompakt.

Bizonyítás. Először tegyük fel, hogy H korlátos és zárt. Ekkor a Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tételből következik, hogy minden H-ban haladó sorozatnak – minthogy ezeket lefedi a korlátos H – létezik konvergens rélszsorozata. H zártságából pedig az következik, hogy minden H-beli értékeket felvevő konvergens sorozat határértéke szintén H-beli, amivel az állítás első fele bebizonyosodott.

Másrészt legyen H sorozatkompakt. Ha nem lenne korlátos, akkor tetszőleges n természetes számra

H_n:=\{x\in H\mid |x|>n\}\ne \emptyset

lenne, és így a kiválasztási axióma segítségével definiálhatunk egy (sn) sorozatot, melynek elemei rendre Hn-beliek. Ekkor minden n természetes számra sn > n, és így tetszőleges (kn) indexsorozatra (szig. mon. növekvő) |s(kn)| > kn > n, ami azt jeleni, hogy (sn)-nek nincs konvergens részsorozata.

A zártsághoz tekintsük H lezártjának egy h elemét. Ekkor létezik h határértékkel H-beli elemekből konvergens sorozat, melyből a sorozatkompaktság miatt szükségképpen h ∈ H következik.

A tétel párja a Borel–Lebesgue-féle lefedési tétel, mely szerint korlátos és zárt R-beli halmaz minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés (korlátos és zárt R-beli halmaz kompakt).

Megjegyezzük, hogy a tételek Rn-ben is érvényesek.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel Bernard Bolzanóról és Karl Weierstrassról kapta a nevét. Először Bolzano bizonyította, de bizonyítása elveszett. Weierstrass újra bebizonyította, és az analízis egyik meghatározó tétele lett. Ezt követően kiderült, hogy korábban már Bolzano belátta az állítást, ezért kapta jelenlegi nevét a tétel.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]