Bolyai Farkas tétele
Bolyai Farkas tétele azt mondja ki, hogy az egyenlő területű sokszögek átdarabolhatók egymásba.
Átdarabolás: az adott alakzat részekre (véges sok részre) vágását, azok elmozgatását: eltolását és forgatását, végül egyesítését jelenti. Papírból kivágott alakzatokkal fizikailag is kivitelezhető.
A bizonyítás konstruktív: nem használja a kiválasztási axiómát.
Bolyai–Gerwien- vagy Wallace–Bolyai–Gerwien-tételnek is szokták nevezni
Bizonyítása [szerkesztés]
A tétel több lépésben bizonyítható.
1. Háromszög átdarabolható téglalappá. Lépései: A legnagyobb oldallal párhuzamos középvonallal egy kis háromszöget vágunk le, és ezt a középvonalra merőleges magasságvonalával vágjuk ketté. A kapott kis háromszögek a trapézt téglalappá egészítik ki.
2. Két, egyenlő alapú és egyenlő magasságú paralelogramma átdarabolható egymásba. Tegyük fel, hogy az ABCD és az ABC1D1 paralelogrammák az AB egyenes ugyazon oldalán fekszenek. Feltehető, hogy az egyik nem téglalap, különben egybevágók, és kész a bizonyítás.
Ha D a D1C1 szakaszon helyezkedik el, akkor az ADD1 és a BCC1 háromszögek egybevágók, ezért az ABC1D trapézt ezek segítségével lehet kiegészíteni az egyik, vagy a másik paralelogrammára.
Ha D nincs a D1C1 szakaszon, akkor legyen az AD és a BC1 szakasz metszéspontja P. AB és P távolságával párhuzamosokat húzunk AB-hez, először P-n át, majd egészen addig, amíg túl nem lépjük a CD egyenest. A kapott kis paralelogrammákat tovább daraboljuk egyik átlójuk behúzásával, mégpedig az ABCD-ben levőkét a BC1-gyel, és a az ABC1D1-ben fekvőkét az AD-vel párhuzamos átlójukkal. Ezzel a kis paralelogrammákat egybevágó háromszögekké vágtuk fel, az utolsó lépésben kapottakat kivéve, ahol is egy-egy, páronként egybevágó háromszög és trapéz keletkezik.
3. Minden téglalap átdarabolható olyan téglalappá, amelynek az egyik oldala adott. Az ABCD téglalapot így daraboljuk át úgy, hogy egyik oldala a hosszú legyen:
Ha a rövidebb a téglalap kisebb oldalánál (most ez legyen BC), akkor a téglalapot az egyik oldalával párhuzamosan felcsíkozzuk, és a kapott kis téglalapokat egymás mellé tesszük.
Tegyük fel, hogy a hosszabb a téglalap rövidebb oldalánál. Ekkor van egy C1 és D1 pont a CD egyenesen, hogy BC1=AD1=a. Ezért az ABCD és az ABC1D1 olyan paralelogrammák, amelyeknek közös az alapja, és egyenlő a magassága, így 2. szerint átdarabolhatók egymásba, tehát ABCD is átdarabolható az a oldalú, BC1 alapú téglalappá, aminek a másik két csúcsa a D1A egyenesre esik.
4. A tétel bizonyítása. Az S1 és az S2 egyenlő területű sokszögeket háromszögekre vágjuk. 1. szerint ezeket a háromszögeket téglalapokká daraboljuk át, és a kapott téglalapokat 3. szerint adott a oldalhosszú téglalappá. Ezeket egymás mellé helyezve két egybevágó téglalapot kapunk, amik nyilván egymásba átdarabolhatók.
Általánosítása [szerkesztés]
A kérdés általánosabban is feltehető: átdarabolható-e két, egyenlő térfogatú poliéder egymásba? Ez Hilbert harmadik problémájaként vált ismertté. Max Dehn látta be először 1900-ban, hogy ez nincs így. Például egy kocka és egy gúla nem darabolható át egymásba, még akkor sem, ha térfogatuk megegyezik.
Források [szerkesztés]
- Reiman István: Geometria és határterületei
- http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Bolyai.shtml angolul
- Példa Bolyai Farkas tételére Kabai Sándor, Holló Szabó Ferenc, és Szilassi Lajos a The Wolfram Demonstrations Project keretében angolul
