Bohr-féle atommodell

A Bohr-féle atommodell

A Bohr-féle atommodell a Rutherford-féle atommodell javított változata. A pozitívan töltött atommag körül keringenek az elektronok – hasonlóan a Naprendszerhez. Ez a modell sikeresen magyarázta a Rydberg-formulát és a hidrogén spektrumát, viszont más, finomabb részleteket nem tudott megindokolni. Ma már az atom kvantummechanikai leírása teljesebb, ezt a modellt azonban egyszerűsége miatt még mindig tanítják.

A Bohr modell félig kvantumos jellegű, és így posztulátumokra támaszkodik:

Az elektron a proton körül körpályán mozog a klasszikus mechanika törvényei szerint. (A centripetális erőt a Coulomb-erő szolgáltatja.)
Az elektronok csak bizonyos megengedett sugarú pályákon keringhetnek, amelyeken nem sugároznak. Mivel az E energia ezeken a pályákon állandó, az elektron stacionárius állapotban van.
A stacionárius állapotok közti átmenetek úgy mennek végbe, hogy az elektron átugrik egyik állapotból a másikba, és eközben az atom elektromágneses hullámokat bocsát ki. A két energiaállapot közti különbség egyenlő a kibocsátott vagy elnyelt sugárzás energiakvantumával. (A modell ezen a ponton tér el gyökeresen a makroméretű keringő mozgások, égitestek fizikájától.)
az energiaszintek az impulzusmomentum (L) diszkrét értékeitől függenek:

$L = n \cdot \frac{h}{{2\pi }} = n \cdot \hbar$

ahol az n a főkvantumszám, a h pedig a Planck-állandó

A hidrogén energiaszintjei [szerkesztés]

A Bohr-modell jó eredményeket csak az egy elektronnal rendelkező rendszerek esetében ad, ilyenek a hidrogén vagy az ionizált hélium.

A modell abból indul ki, hogy az elektronokat a Coulomb-erő tartja pályán, illetve hogy a Coulomb erő egyenlő a centripetális erővel:

$\frac{kq_e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r}$

ahol $k = 1 / {4\pi\epsilon_0}$ , és $q_e$ az elemi töltés.

A kvantum-posztulátum a következő: a pálya hossza meg kell hogy egyezzen az elektron de Broglie-féle hullámhosszának egész számú többszörösével:

$2 \pi r = n \lambda$

A két egyenletből kifejezzük a sugarat:

$r_n=\left(\frac{\varepsilon_0\,h^2}{\pi\,Z\,m_e\,q_e^2}\right)\cdot n^2$

Innen az első energiaszint sugara r=0.0529 nm, ez a klasszikus Bohr-sugár. Az elektron energiája ezek szerint:

$E = E_{kin} + E_{pot}=\frac{1}{2}m_e v^2 -\frac{k q_e^2}{r}$

$E = -2 \pi^2 k^2 \left( \frac{m_e q_e^4}{h^2} \right) \frac{1}{n^2}$

$E = \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2}$

Ha behelyettesítjük az állandók értékeit:

$E_n = (-13.6 \ \mathrm{eV}) \frac {1}{n^2} \,$

Ezek szerint a hidrogén legalacsonyabb energiaszintje -13,6 eV, a második -3,4 eV, a harmadik -1,5 eV és így tovább. Tehát, egy alapállapotban lévő hidrogénatom ionizációs energiája 13,6 eV.

A Rydberg-formula [szerkesztés]

A Bohr-posztulátumok szerint egy elektron kibocsát egy fotont, ha egy magasabb energiaszintről egy alacsonyabbra ugrik:

$E=E_i-E_f=\frac{m_e e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,$

ahol $n_f$ jelöli a végső energiaszintet, a $n_i$ pedig a kezdetit.

A foton energiája a következőképpen számolható:

$E=\frac{hc}{\lambda} \,$

ebből a hullámhossz reciproka a hullámszám kifejezhető:

$\frac{1}{\lambda}=\frac{m_e e^4}{8 c h^3 \epsilon_{0}^2} \left( \frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,$

A fenti Rydberg-formula már a XIX. században ismert volt, kísérleti alapon jutottak el hozzá. A Bohr-modell megadta az elméleti alapjait, és a Rydberg-állandóra is jó értéket adott.

Hidrogén [szerkesztés]

A hidrogénatom az előforduló atomok közül a legkönnyebb (atomtömege 1,008) és a legegyszerűbb. Egy pozitív $+e$ töltésű magból, protonból, és egy negatív $- e$ töltésű elektronból áll, amelynek mozgását a Schrödinger-egyenlet írja le, ha $V$ potenciál helyére a vonzó $\frac{{e^' }}{r}$ elektrosztatikus potenciált helyettesítjük (ahol $r$ a proton és az elektron távolsága).

A hidrogénatom sajátállapotait vagy pályáit 5 kvantumszámmal jellemezhetjük:

1. A főkvantumszám (jele gyakran: $n$ ). Az elektron energiája és az atommagtól mért távolsága egyedül a főkvantumszámtól függ. A lehetséges energiaállapotok:

$E = - \frac{{2\pi ^2 \mu _e e^4 }}{{h^2 }} \cdot \frac{1}{{n^2 }} = h \cdot c \cdot R_H \cdot \frac{1}{{n^2 }}$

ahol $n = 1,2,3,...;$ és $\mu _e = \frac{{m_e M}}{{m_e + M}}$

ahol $R_H$ a Rydberg-állandó ( $R_H = 109677,58\frac{1}{{cm}}$ ).

A teljes energia negatív, mert az elektron kötött állapotban van, azaz energiája kisebb mintha szabadon mozoghatna. Az energiaállapotokhoz tartozó átlagos $r$ sugarak:

$r = \frac{{h^2 n^2 }}{{4\pi ^2 me^2 }} = \frac{{\hbar ^2 }}{{me^2 }} \cdot n^2$

A legbelső Bohr-féle pálya sugara ezek alapján $r = 0,529172 \cdot 10^{ - 8} cm$ .

2. A mellékkvantumszám (jele: $l$ )(az impulzusmomentum kvantumszáma) határozza meg a keringő elektron impulzusmomentumát. Az impulzusmomentum négyzetére a következő összefüggés érvényes:

$J^2 = \hbar ^2 l \cdot (l + 1)$

Minden energiaállapothoz különböző impulzusmomentum-értékek tartozhatnak, de úgy, hogy $l$ mindig kisebb, mint $n$ . Az $n=1$ alapállapothoz tehát csak $l=0$ impulzusmomentum tartozhat.

3. A mágneses kvantumszám a teljes impulzusmomentumnak egy mágneses tér által kijelölt irányra vonatkozó összefüggését adja meg. Az $n$ főkvantumszám és az $l$ mellékkvantumszám által meghatározott állapotokban a mágneses kvantumszám a következő értékeket veheti fel: $m = 0, \pm 1, \pm 2,..., \pm l$ . Az $m$ mágneses kvantumszám abszolútértékének kisebbnek vagy egyenlőnek kell lennie a mellékkvantumszám abszolútértékével.

4. Az $s$ spinkvantumszám, amely az elektron spinjét adja meg mindig $\frac{1}{2}$ .

5. Egy kitüntetett irányban az $m$ spinvetület kvantumszáma $+ \frac{1}{2}$ vagy - $\frac{1}{2}$ lehet.

Az atomban lévő elektron állapotát ezekkel a kvantumszámokkal jellemezzük. Az impulzusmomentum kvantumszámának különböző értékeit betűkkel jelöljük. $s$ -sel jelöljük az $l=0$ , $p$ -vel az $l=1$ , $d$ -vel az $l=2$ , $f, g, h$ -val az $l=3, 4, 5$ értékeket stb. A 2, $p$ ,1 állapot tehát azt jelenti, hogy az elektron hullámfüggvényét az $n=2$ , $l=1$ és $m=1$ kvantumszámok határozzák meg. Az azonos főkvantumszámú állapotok energiája megegyezik. Az $n$ főkvantumszámú energiaszintek $n^2$ -szeresen elfajultak.