Binomiális sor

A binomiális sor a matematikai analízisben az  (1 + x) ^α függvény Taylor-sora, ahol α ∈ C egy tetszőleges komplex szám. Képlettel kifejezve:

$\begin{align} (1 + x)^\alpha &= \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k \qquad\qquad\qquad (1) \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots, \end{align}$

A binomiális sor egy hatványsor az (1) képlet jobb oldalán, binomiális együtthatókkal kifejezve:

${\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}.$

Speciális esetek

Ha α egy nem negatív n egész, akkor (n+1)-ik tag, és sorozat összes többi tagja 0-val egyenlő, mivel mindegyik tartalmazza a (n - n) tényezőt; így aztán a sorozat véges, és a binomiális tételt adja. A következő változat tetszőleges komplex β –ra igaz, de különösen hasznos negatív egész kitevők esetén:

$\frac{1}{(1-z)^{\beta+1}} = \sum_{k=0}^{\infty}{k+\beta \choose k}z^k.$

Ezt bizonyítandó, helyettesítsük x=−z –t az (1) képletbe, és alkalmazzuk a binomiális együttható azonosságát.

Összegzés

A binomiális sor differenciálásával, |x| < 1 konvergencia mellett, használva az (1) képletet, egy összeget kapunk, mely egy analitikus-függvény, a (1 + x)u'(x) = α u(x) közönséges differenciálegyenlet megoldása, u(0) = 1 kezdeti értékkel. A probléma egyedi megoldása u(x) = (1 + x)^α, mely a binomiális sor összege, legalább |x| < 1.esetén. Az egyenlőség kiterjeszthető |x| = 1-re, ha a sor konvergál, Abel binomiális tétele következményeképpen, és (1 + x)^α folytonossága miatt.

Történet

Sir Isaac Newton-tól származnak az első eredmények, melyek a binomiális sorok kidolgozásához vezettek. Newton bizonyos görbéket vizsgált, pozitív integer kitevőkkel. Az eredményeket tovább fejlesztette John Wallis, aki a y = (1 − x²)ⁿ egyenlettel foglalkozott, n=0, 1, 2, 3,….esetekben, és tört kitevőkkel is próbálkozott. Egyértelműen a következő egyenleteket írta le:

$(1-x^2)^{1/2}=1-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8-\frac{x^6}{16}\cdots$

$(1-x^2)^{3/2}=1-\frac{3x^2}2+\frac{3x^4}8+\frac{x^6}{16}\cdots$

A fentiek miatt a binomiális sorokat ‘Newton binomiális elmélet’-ének is szokták hívni. Newton nem bizonyította, és nem adott egyértelmű leírást a sor természetéről; valószínűleg, mint igazoló példáként kezelte a sorokat, formális hatvány soroknak. Később Niels Henrik Abel foglalkozott emlékirataiban a sorokkal, főleg a konvergencia kérdéseivel.

Irodalom

• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. Typotex Kiadó. 2009. 109-113. o. ISBN 978-963-279-026-8
• J. L. Coolidge: He Story of the Binomial Theorem. The American Mathematical Monthly 56:3. 1949. 147–157. o.

Kapcsolódó szócikkek

• Newton-sorok listája
• Abel binomiális tétele
• Faktoriális
• Komplex számok
• Valós számok
• Konvergencia
• Niels Henrik Abel
• Isaac Newton