Binomiális sor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A binomiális sor a matematikai analízisben az  (1 + x) α függvény Taylor-sora, ahol α C egy tetszőleges komplex szám. Képlettel kifejezve:

\begin{align} (1 + x)^\alpha &= \sum_{k=0}^{\infty} \; {\alpha \choose k} \; x^k \qquad\qquad\qquad (1) \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \cdots, \end{align}

A binomiális sor egy hatványsor az (1) képlet jobb oldalán, binomiális együtthatókkal kifejezve:

 {\alpha \choose k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}.

Speciális esetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha α egy nem negatív n egész, akkor (n+1)-ik tag, és sorozat összes többi tagja 0-val egyenlő, mivel mindegyik tartalmazza a (n - n) tényezőt; így aztán a sorozat véges, és a binomiális tételt adja. A következő változat tetszőleges komplex β –ra igaz, de különösen hasznos negatív egész kitevők esetén:

\frac{1}{(1-z)^{\beta+1}} = \sum_{k=0}^{\infty}{k+\beta \choose k}z^k.

Ezt bizonyítandó, helyettesítsük x=−z –t az (1) képletbe, és alkalmazzuk a binomiális együttható azonosságát.

Összegzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A binomiális sor differenciálásával, |x| < 1 konvergencia mellett, használva az (1) képletet, egy összeget kapunk, mely egy analitikus-függvény, a (1 + x)u'(x) = α u(x) közönséges differenciálegyenlet megoldása, u(0) = 1 kezdeti értékkel. A probléma egyedi megoldása u(x) = (1 + x)α, mely a binomiális sor összege, legalább |x| < 1.esetén. Az egyenlőség kiterjeszthető |x| = 1-re, ha a sor konvergál, Abel binomiális tétele következményeképpen, és (1 + x)α folytonossága miatt.

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sir Isaac Newtontól származnak az első eredmények, melyek a binomiális sorok kidolgozásához vezettek. Newton bizonyos görbéket vizsgált, pozitív egész kitevőkkel. Az eredményeket tovább fejlesztette John Wallis, aki a y = (1 − x2)n egyenlettel foglalkozott, n=0, 1, 2, 3,… esetekben, és tört kitevőkkel is próbálkozott. Egyértelműen a következő egyenleteket írta le:[1]

(1-x^2)^{1/2}=1-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8-\frac{x^6}{16}\cdots
(1-x^2)^{3/2}=1-\frac{3x^2}2+\frac{3x^4}8+\frac{x^6}{16}\cdots
(1-x^2)^{1/3}=1-\frac{x^2}3-\frac{x^4}9-\frac{5x^6}{81}\cdots

A fentiek miatt a binomiális sorokat Newton binomiális elméletének is szokták hívni. Newton nem bizonyította, és nem adott egyértelmű leírást a sor természetéről; valószínűleg, mint igazoló példaként kezelte a sorokat, formális hatvány soroknak. Később Niels Henrik Abel foglalkozott emlékirataiban a sorokkal, főleg a konvergencia kérdéseivel.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 9789632790268  
  • J. L. Coolidge: The Story of the Binomial Theorem. (hely nélkül): The American Mathematical Monthly 56:3. 1949. 147–157. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. The Story of the Binomial Theorem, by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly 56:3 (1949), pp. 147–157. In fact this source gives all non-constant terms with a negative sign, which is not correct for the second equation; one must assume this is an error of transcription.