Berry–Esseen-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Berry–Esseen-tétel a centrális határeloszlás-tételben említett konvergencia sebességére ad mennyiségi választ egy adott maximális hibahatár figyelembevételével, a közelítő normális eloszlás és a valóságos minta középértékére vonatkozóan.

A tétel több változatban is létezik, mivel azt két matematikus Andrew C. Berry (1941-ben), Carl-Gustav Esseen (1942-ben) ) egymástól függetlenül fedezte fel, és ők és más szerzők is folyamatosan finomították a tételt az idők során.

A valószínűség-számítás elméletében, és a statisztika területén, a centrális határeloszlás-tétel azt állítja, hogy egy véletlenszerű mintavétel középértékének az eloszlása a normális eloszláshoz konvergál, ha minták száma elég nagy és tart a végtelenhez. Eloszlás tételek esetében, melyeknél a konvergencia lényeges szerepet tölt be, jelentősége van a konvergencia sebességének.

Itt, a tételben szereplő standardizált összeg-eloszlás görbék esetében az lehet érdekes, hogy milyen gyorsan simulnak rá a standard normális eloszlás görbéjére. A sebességgel kapcsolatos kifejezésben szerepel egy C konstans. A különböző szerzők kutatásai során ez a C érték több változáson ment keresztül. [1]

1942-ben Essen 7.59-re értékelte, majd 0.7882 (van Beek (1972)), 0.7655 ( Shiganov (1986), 0.7056 ( Shevtsova (2007)), 0.7005 (Shevtsova (2008)), 0.5894 ( Tyurin (2009)), 0.5129 ( Korolev & Shevtsova (2009)), és 0.4785 ( Tyurin (2010)). [2]

A konvergencia sebessége, vagyis az az időtartam, mely után az adott jelenség elegendően jól simul a normális eloszlás görbéjéhez, lényeges lehet egyes folyamatok kiértékelése során, mivel számos jelenség a centrális határeloszlás-tétel szerint viselkedik, és ezek között műszaki berendezések működésénél meghatározó lehet.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Berry, Andrew C: The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates. (hely nélkül): Transactions of the American Mathematical Society 49 (1). 1941. 122–136. o.  
  • Esseen, Carl-Gustav: A moment inequality with an application to the central limit theorem. (hely nélkül): ". Skand. Aktuarietidskr 39. 1956. 160–170. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Esseen, Carl-Gustav (1956). "A moment inequality with an application to the central limit theorem". Skand. Aktuarietidskr. 39: 160–170.
  2. Shevtsova, I. G. (2010). "An Improvement of Convergence Rate Estimates in the Lyapunov Theorem". Doklady Mathematics 82 (3): 862–864. doi:10.1134/S1064562410060062