Bernoulli-teszt

A valószínűség-számítás elméletében, és a statisztika területén a Bernoulli-teszt egy kísérlet, melynek kimenetele véletlenszerű, és két lehetséges kimenetele van: siker, és a kudarc.

A Bernoulli-teszt matematikai megfogalmazása a Bernoulli-processz. A gyakorlatban ez egy egyszeri kísérlet, melynek két lehetséges kimenetele lehet.

Az események megválaszolhatók “igen, vagy “nem “ válasszal.

Például:

• a feldobott érme fejjel felfelé esik le a földre?

• az újszülött gyermek lány lesz?

Az érme esetében a siker a ‘fej’, kudarc az ‘írás’ Egy szabályos érme esetén a valószínűség 50%.

Egy kockadobásnál a siker a “hatos”, és minden más ‘kudarc’

Definíció

Egy kísérlet egymástól függetlenül ismételt tesztjeinek eredményét Bernoulli-tesztnek nevezik. Nevezzük a teszt egyik eredményét ‘siker’nek, a másikat “kudarc”nak. Legyen $p$ a Bernoulli-teszt sikeres kimenetelének a valószínűsége. Ekkor a kudarc ($q$ ) valószínűsége:

$q = 1 - p$.

A Bernoulli-teszt valószínűségi változóit - konvenció szerint – a következőképpen jelölik: 1=”siker” 0=”kudarc” A Bernoulli-teszthez szorosan kapcsolódik a binomiális-kísérlet, mely egy rögzített számú ($n$), statisztikailag egymástól független Bernoulli-tesztet tartalmaz, mindegyiknél a siker valószínűsége $p$, és számolják a ‘siker’ek számát. Ha egy valószínűségi változó a binomiálisnak felel meg, jelölése $B(n,p)$, binomiális eloszlás szerint változik.

A $B(n,p)$ kísérletnél $k$ a siker valószínűsége:

$P(k)={n \choose k} p^k q^{n-k}$.

A Bernoulii-teszt elvezethet a negatív binomiális eloszláshoz (ahol a sikerek számát egymásutáni Bernoulli-tesztek során számolják, egy meghatározott számú kudarcig), hasonlóan más eloszlásokéhoz.

Ha többszörös Bernoulli-tesztet végzünk, mind a saját ‘siker’ valószínűségével, akkor ezt néha Poisson-tesztnek is hívják. .

Példa: pénzfeldobás

Tekintsünk egy egyszerű kísérletet, ahol egy szabályos érmét négyszer dobunk fel.

Számoljuk ki azt a valószínűséget, amikor a négy dobásból pontosan kettő lesz fej.

Megoldás

A kísérletünkben legyen a fej a ‘siker’, és az írás a ‘kudarc’. Mivel feltételeztük, hogy az érme szabályos, a ‘siker’ valószínűsége $p = 1/2$. Így a ‘kudarc’ valószínűsége:

$q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$.

A fenti egyenlőségeket használva, annak a valószínűsége, hogy négy dobásból kettő pontosan fej lesz:

$\begin{align} P(2) &= {4 \choose 2} p^2 q^2 \\ &= 6 \times (1/2)^2 \times (1/2)^2 \\ &= 3/8 \end{align}$.

Irodalom

• Rajeev Motwani and P. Raghavan.: Randomized Algorithms. Cambridge University Press, NY.. 1995. 67-68. o.

Kapcsolódó szócikkek

• http://mathworld.wolfram.com/BernoulliTrial.html
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Sűrűségfüggvény
• Bernoulli-eloszlás
• Binomiális eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűség-számítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Poisson-féle mintavétel
• Mintavétel tervezés
• Bernoulli-féle mintavétel
• Bernoulli-séma
• Jacob Bernoulli
• Poisson-teszt