Bernoulli-teszt

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén a Bernoulli-teszt egy kísérlet, melynek kimenetele véletlenszerű, és két lehetséges kimenetele van: a siker és a kudarc.

A Bernoulli-teszt matematikai megfogalmazása a Bernoulli-processz. A gyakorlatban ez egy egyszeri kísérlet, melynek két lehetséges kimenetele lehet.

Az események megválaszolhatók “igen“ vagy “nem“ válasszal.

Például:

  • a feldobott érme fejjel felfelé esik le a földre?
  • az újszülött gyermek lány lesz?

Az érme esetében a siker a ‘fej’, kudarc az ‘írás’. Egy szabályos érme esetén a valószínűség 50%.

Egy kockadobásnál a siker a “hatos”, és minden más ‘kudarc’.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy kísérlet egymástól függetlenül ismételt tesztjeinek eredményét Bernoulli-tesztnek nevezik. Nevezzük a teszt egyik eredményét ‘siker’nek, a másikat “kudarc”nak. Legyen p a Bernoulli-teszt sikeres kimenetelének a valószínűsége. Ekkor a kudarc (q) valószínűsége:

q = 1 - p.

A Bernoulli-teszt valószínűségi változóit - konvenció szerint – a következőképpen jelölik: 1=”siker” 0=”kudarc” A Bernoulli-teszthez szorosan kapcsolódik a binomiális-kísérlet, mely egy rögzített számú (n), statisztikailag egymástól független Bernoulli-tesztet tartalmaz, mindegyiknél a siker valószínűsége p, és számolják a ‘siker’ek számát. Ha egy valószínűségi változó a binomiálisnak felel meg, jelölése B(n,p), binomiális eloszlás szerint változik.

A B(n,p) kísérletnél k a siker valószínűsége:

P(k)={n \choose k} p^k q^{n-k}.

A Bernoulii-teszt elvezethet a negatív binomiális eloszláshoz (ahol a sikerek számát egymásutáni Bernoulli-tesztek során számolják, egy meghatározott számú kudarcig), hasonlóan más eloszlásokéhoz.

Ha többszörös Bernoulli-tesztet végzünk, mind a saját ‘siker’ valószínűségével, akkor ezt néha Poisson-tesztnek is hívják.[1].

Példa: pénzfeldobás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsünk egy egyszerű kísérletet, ahol egy szabályos érmét négyszer dobunk fel.

Számoljuk ki azt a valószínűséget, amikor a négy dobásból pontosan kettő lesz fej.

Megoldás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kísérletünkben legyen a fej a ‘siker’, és az írás a ‘kudarc’. Mivel feltételeztük, hogy az érme szabályos, a ‘siker’ valószínűsége p = 1/2. Így a ‘kudarc’ valószínűsége:

q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2.

A fenti egyenlőségeket használva, annak a valószínűsége, hogy négy dobásból kettő pontosan fej lesz:

\begin{align}
P(2)
  &= {4 \choose 2} p^2 q^2 \\
  &= 6 \times (1/2)^2 \times (1/2)^2 \\
  &= 3/8

\end{align}.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rajeev Motwani and P. Raghavan: Randomized Algorithms. (hely nélkül): Cambridge University Press, NY. 1995. 67–68. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Rajeev Motwani and P. Raghavan. Randomized Algorithms. Cambridge University Press, New York (NY), 1995, p.67-68