Beatty tétele

Beatty tétele az elemi számelmélet egyik állítása. A tételt Samuel Beatty tűzte ki az American Mathematical Monthly feladat rovatában, 1926-ban.

Definíció

A tétel szerint, ha $\alpha$ > 1, $\beta$ > 1 irracionális számok, amikre teljesül

$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1$

akkor minden pozitív természetes szám előfordul a $[\alpha],[2\alpha],[3\alpha],\dots$, $[\beta], [2\beta], [3\beta],\dots$ sorozatok valamelyikében, de csak az egyikben, pontosan egyszer. Itt a szögletes zárójel az egészrészt jelöli (tehát $[3,2]=3$).

Bizonyítás: (Tegyük fel:) b = 1 + c => a = 1 + 1/c => 0 < c < 1 ÉS [nc] = k-1. [(n+1)c] = k

Mivel a, és b is irracionális számok, és reciprokösszegük = 1, ezért "a" NEM lehet egyenlő "b"-vel. Tegyük fel, hogy a>b. Ezért a>2>b>1. Mivel b értéke kisebb 2nél, ezért [(n+1)b] - [nb] = vagy 1, vagy 2. Ha 2, akkor ... [(n+2)b] - [(n+1)b] = 1. Vegyük észre az alábbi összefüggést: k-1 < nc < k < (n+1)c < k + 1 → (mindent elosztunk "c"-vel) → (k-1)/c < n < k/c < n+1 < (k+1)/c. Ami nekünk ebből fontos: n < k/c < n+1, tehát [k/c] az pontosan egyenlő "n"-nel. Így [ka] = n + k valóban [nb] = n + k - 1 és [(n+1)b] = n + k + 1 közé esik.

Mivel 0 < c < 1, így nc és (n+1)c legfeljebb egy egészet lép át, ezért [nc] és [(n+1)c] különbsége 0 vagy 1. És mivel k = [nc+1], ezért k minden pozitív valós értéket felvehet.

További információk

• Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot

Kapcsolódó szócikkek

• Beatty-sorozatok