Beatty-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Beatty tétele szócikkből átirányítva)

A Beatty-tétel az elemi számelmélet egyik állítása. A tételt Samuel Beatty tűzte ki az American Mathematical Monthly feladat rovatában, 1926-ban.[1][2]

A tétel kimondása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen t>0 irracionális szám. Ekkor t Beatty-sorozatának nevezzük a

\mathcal{B}_t=[t],[2t],[3t],\dots=\left([nt]\right)_{n\ge 1}

számsorozatot, ahol a szögletes zárójel az egészrészt jelöli.

A tétel szerint ha \alpha, \beta pozitív irracionális számok, amikre teljesül

\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1,

akkor \mathcal{B}_\alpha és \mathcal{B}_\beta együtt minden pozitív egész számot pontosan egyszer tartalmazza.

Bizonyítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Első bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Világos, hogy \alpha és \beta mindketten 1-nél nagyobb számok, ezért \mathcal{B}_\alpha-ban, illetve \mathcal{B}_\beta-ban nem fordulhat elő egynél többször egy egész szám. Tehát a tétel igazolásához elegendő megmutatnunk, hogy \mathcal{B}_\alpha\cap\mathcal{B}_\beta=\emptyset (1) és (\mathbb{N}\setminus\mathcal{B}_\alpha)\cap(\mathbb{N}\setminus\mathcal{B}_\beta)=\emptyset (2). Még megjegyezzük, hogy mivel \alpha és \beta irracionális, azért n\alpha és m\beta sosem egész szám.

(1) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy van olyan n és m, hogy n\alpha és m\beta ugyanabba a (k;k+1) intervallumba esik, vagyis

k< n\alpha< k+1, k< m\beta<k+1,

átosztva

\frac{k}\alpha<n<\frac{k+1}{\alpha}, \frac{k}{\beta}<m<\frac{k+1}{\beta}.

A két egyenlőtlenséget összeadva, és kihasználva a feltételt:

k<n+m<k+1,

ami ellentmondás, hisz két szomszédos egész szám közé nem eshet más egész szám.

(2) bizonyítása: Tegyük fel indirekt, hogy valamely [k;k+1) intervallumba nem esik n\alpha és m\beta alakú szám sem. Ilyenkor tehát valamely n-re és m-re fennáll, hogy

n\alpha<k, de k+1<(n+1)\alpha;

m\beta<k, de k+1<(m+1)\beta.

Ismét átosztva és összeadva adódik, hogy

m+n<k\left(\frac1\alpha+\frac1\beta\right)

és

(k+1)\left(\frac1\alpha+\frac1\beta\right)<(n+1)+(m+1).

A kettőt összevetve m+n<k<m+n+1 adódik, ami ismét ellentmondás.

(1) és (2) belátásával pedig a tétel bizonyítást nyert.

Második bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje valamely N>0 egész számra f(N) azt, hogy 0 és N közé \alpha-nak és \beta-nak összesen hány többszöröse esik. Ha belátjuk, hogy minden N-re, hogy f(N+1)=f(N)+1 (*), akkor az [N;N+1) intervallumban pontosan egy n\alpha vagy m\beta alakú szám lehet, így N-et \mathcal{B}_\alpha és \mathcal{B}_\beta pontosan egyszer tartalmazza.

Könnyen átgondolható, hogy \left[\frac{N}{\alpha}\right] darab \alpha-többszörös kisebb N-nél, és \left[\frac{N}{\beta}\right] darab \beta-többszörös, ahonnan

f(N)=\left[\frac{N}{\alpha}\right]+\left[\frac{N}{\beta}\right].

Egyfelől, mivel \alpha és \beta irracionális, így garantáltan

f(N)<\frac{N}{\alpha}+\frac{N}{\beta}=N.

Másrészt, az [x]>x-1 becslést felhasználva

f(N)>\left(\frac{N}{\alpha}-1\right)+\left(\frac{N}{\beta}-1\right)=N-2

adódik, így f(N) egész szám lévén csakis f(N)=N-1 lehet. Ebből pedig (*) leolvasható.

Megjegyzés: utóbbi bizonyításból világosan látható, hogy a tétel megfordítása is igaz.

Mindkét bizonyítás kis módosításával megkaphatjuk a tétel rokon változatát pozitív racionális számokra: ha (m,n)=1 pozitív egészek, akkor a következő m+n-2 racionális szám közül pontosan egy esik az (1;2),(2;3),\dots,(m+n-2;m+n-1) intervallumok mindegyikébe:

\frac{m+n}m,\frac{2(m+n)}m,\dots,\frac{(m-1)(m+n)}m; \frac{m+n}n,\frac{2(m+n)}n,\dots,\frac{(n-1)(m+n)}n.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Beatty, Samuel (1926.). „Problem 3173” (angol nyelven). American Mathematical Monthly 33 (3), 159. o. DOI:10.2307/2300153.  
  2. S. Beatty, A. Ostrowski, J. Hyslop, A. C. Aitken (1927.). „Solutions to Problem 3173” (angol nyelven). American Mathematical Monthly 34 (3), 159–160. o. DOI:10.2307/2298716.  

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Alexander Bogomolny, Beatty Sequences, Cut-the-knot
  • Skljarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből I. (Aritmetika és algebra)