Beatty-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Beatty tétele szócikkből átirányítva)

A Beatty-tétel az elemi számelmélet egyik állítása. A tételt Samuel Beatty tűzte ki az American Mathematical Monthly feladat rovatában, 1926-ban.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel szerint, ha \alpha > 1, \beta > 1 irracionális számok, amikre teljesül

\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1,

akkor minden pozitív természetes szám előfordul a [\alpha],[2\alpha],[3\alpha],\dots, [\beta], [2\beta], [3\beta],\dots sorozatok valamelyikében, de csak az egyikben, pontosan egyszer. Itt a szögletes zárójel az egészrészt jelöli (tehát [3,2]=3 ).

Bizonyítás: (Tegyük fel:) b = 1 + c => a = 1 + 1/c => 0 < c < 1 ÉS [nc] = k-1. [(n+1)c] = k

Mivel a és b is irracionális számok, és reciprokösszegük = 1, ezért "a" NEM lehet egyenlő "b"-vel. Tegyük fel, hogy a>b. Ezért a>2>b>1. Mivel b értéke kisebb 2nél, ezért [(n+1)b] - [nb] = vagy 1, vagy 2. Ha 2, akkor ... [(n+2)b] - [(n+1)b] = 1. Vegyük észre az alábbi összefüggést: k-1 < nc < k < (n+1)c < k + 1 → (mindent elosztunk "c"-vel) → (k-1)/c < n < k/c < n+1 < (k+1)/c. Ami nekünk ebből fontos: n < k/c < n+1, tehát [k/c] az pontosan egyenlő "n"-nel. Így [ka] = n + k valóban [nb] = n + k - 1 és [(n+1)b] = n + k + 1 közé esik.

Mivel 0 < c < 1, így nc és (n+1)c legfeljebb egy egészet lép át, ezért [nc] és [(n+1)c] különbsége 0 vagy 1. És mivel k = [nc+1], ezért k minden pozitív valós értéket felvehet.[1][2]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Beatty, Samuel (1926.). „Problem 3173” (angol nyelven). American Mathematical Monthly 33 (3), 159. o. DOI:10.2307/2300153.  
  2. S. Beatty, A. Ostrowski, J. Hyslop, A. C. Aitken (1927.). „Solutions to Problem 3173” (angol nyelven). American Mathematical Monthly 34 (3), 159–160. o. DOI:10.2307/2298716.  

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]