Beal-sejtés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Beal-sejtés egy számelméleti sejtés, amit Andrew Beal posztulált 1993-ban. A Fermat-sejtés általánosításait vizsgálva a következő sejtést alkotta meg:

Ha
 A^x +B^y = C^z,
ahol A, B, C, x, y és z pozitív egészek úgy, hogy x, y, z > 2, akkor A, B és C rendelkezik közös prímosztóval.

Annak, aki bizonyítással vagy cáfolattal áll elő, és ezt megjelenteti egy lektorált szakfolyóiratban, Beal 1997-ben 5000 amerikai dollárt ajánlott fel, ezt tíz év alatt 50 000 dollárra[1], mostanra 1 millió dollárra emelte.[2]

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Illusztrációképp, az egyik megoldás, 33 + 63 = 35 alapjainak közös prímosztója 3, egy másik megoldás, a 76 + 77 = 983 alapjainak közös prímosztója 7. Az egyenletnek természetesen végtelen sok megoldása létezik, ezek egy része például felírható a következő alakban

 \left[a \left(a^m + b^m\right)\right]^m + \left[b \left(a^m + b^m\right)\right]^m = \left(a^m+b^m\right)^{m+1}

bármilyen a, b > 0, m > 2 egészekre. Ezek közül egyik megoldás se jó ellenpéldának a Beal-sejtésre, mivel az alapok mind tartalmazzák osztóként az a^m + b^m -t.

Kapcsolat más sejtésekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nagy Fermat-tétel kimondja, hogy az x = y = z > 2 esetben a Beal-sejtésben szereplő egyenletnek nincs megoldása (vagy ami ebből következik, nincs olyan megoldása, ahol A, B és C relatív prímek). Ez Beal sejtésének speciális esete (a Beal-sejtés is megköveteli, hogy A, B és C relatív prímek legyenek és x, y, z > 2 legyen, de utóbbiaknak nem kell feltétlenül megegyezniük).

A Beal-sejtés úgy is kimondható, hogy „a Fermat–Catalan-sejtés valamennyi megoldásában szerepel 2 a kitevők között”.

Részleges eredmények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Azokban a lenti esetekben, ahol 2 a kitevő, a 2 többszöröseire is érvényes a bizonyítás, mivel a hatványból egyszerűen négyzetgyök vonható..

  • Az x = 2, y = 3 és z = 7 esetet Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer és Michael Stoll bizonyította 2005-ben.[3]
  • Az x = 2, y = 4, z pedig prímszám esetet Michael Bennet, Jordan Ellenberg és Nathan Ng igazolta 2009-ben. [4]
  • Az x = 2, y = 3 és z = 10 esetet David Brown bizonyította 2009-ben.[5]
  • Ha igaz az abc-sejtés, akkor igaz az is, hogy legfeljebb véges sok ellenpélda hozható a Beal-sejtéssel szemben.
  • Hash táblákkal felgyorsított számítógépi kereséssel igazolták a Beal-sejtés érvényességét a képletben szereplő mind a hat változó 1000-ig terjedő értékeire.[7] Tehát bármilyen ellenpéldában a változók közül legalább egynek 1000 fölöttinek kell lennie.

Érvénytelen variánsok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A  7^3 + 13^2 = 2^9 és 1^m + 2^3 = 3^2 ellenpéldák megmutatják, hogy a sejtés érvénytelen lenne, ha megengednénk, hogy legalább egy kitevő felvegye a 2 értéket. A Fermat–Catalan-sejtés foglalkozik ezekkel az esetekkel.

A sejtés egy variánsa, mely szerint az x, y, z-nek (és nem az A, B, C számoknak) kell közös prímtényezővel rendelkeznie, hamisnak bizonyult. Egy ellenpélda: 27^4 +162^3 = 9^7.

A sejtés szintén érvénytelen, ha az egész számkört kibővítő Gauss-egészek körében vizsgáljuk. Miután 50 dollárt ígértek annak, aki ellenpéldát talál, Fred W. Helenius megtalálta a (-2+i)^3 + (-2-i)^3 = (1+i)^4 esetet.[8]

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Beal's conjecture című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]