Az aritmetika alapjai (Frege)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az aritmetika alapjai (Die Grundlagen der Arithmetik, rövid idegen néven Grundlagen) Gottlob Frege jénai matematikus 1884-ben írt műve. A mű eredeti, teljes német címe Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (Breslau, 1884); azaz Az aritmetika alapjai: a számfogalom logikai-matematikai vizsgálata. E mű magyarul is megjelent (ld. az irodalomjegyzéket) .

E munkájában Frege alapvetően három tudományos feladatba vág bele és végzi el ezeket gyakorlatilag teljes sikerrel:

  • 1. A természetes számok megalapozásával kapcsolatosan kimutatja a matematikában, filozófiában és egyéb tudományokban addig és akkoriban elterjedt számfelfogások és számdefiníciók filozófiai és matematikai tarthatatlanságát, irrelevanciáját;
  • 2. Vázolja a természetes számok egy lehetséges, matematikai logikára alapuló megalapozását és ezzel valószínűsíti egy ilyen felépítés lehetőségét, illetve vázlatosan kitér a bővebb számkörök (valós, komplex) megalapozásának problematikájára;
  • 3. Ezzel pedig (amennyiben az előbbi megalapozási út helyesnek bizonyul) bizonyítja azt a filozófiai tézisét, hogy az aritmetika a logika része.

Frege szerint a számok fogalmak, mégpedig olyan fogalmak, melyek a „fogalmakat jellemzik”. Bizonyos fogalmakat „azonosítani” tudunk, egy osztályba sorolni egy bizonyos ekvivalenciareláció által. Ez az „X fogalom alá ugyanannyi tárgy esik, mint az Y fogalom alá” reláció lesz, de az „ugyanannyi” szót az önhivatkozás elkerülése végett ki kell még küszöbölni, mégpedig az ún. Hume-elv által (Hume „Az emberi természetről” c. művében írja, hogy valamiből ugyanannyi van, mint másvalamiből, ha az egyik fajtában lévő minden dologhoz pontosan egy dolog tartozik a másikból, és fordítva). tehát az egy adott szám mint fogalom alá eső „tárgyak” maguk is fogalmak. Ezt úgy mondja Frege, hogy a számok másodfokú fogalmak. Ezért van az, hogy az aritmetika törvényei bizonyára logikai törvények: minthogy nem empirikus dolgokról, hanem az ezekből logikailag képzett fogalmakról állítanak valamit. A számokra vonatkozó általános állítások ezért nem természettörvények, hanem ezeknek a törvényeknek a törvényei: eme státuszuk magyarázza, hogy alkalmazhatóak a természetre; és emiatt téveszthetőek össze könnyen az empirikus állításokkal.

A mű története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Öt évvel a Fogalomírás megjelenése, és néhány, a fogalomírás témáját tovább boncolgató cikke után jelentette meg, Carl Stumpf tanácsára . E törekvését ha elismerés nem is, de siker mindenesetre koronázta: az Aritmetika alapjai poroszos precízséggel felépített, részletes és alapos, ugyanakkor tömör és világos nyelvezettel megfogalmazott mű, az érthető és emberarcú filozófia és matematika örök példája.

Frege valószínűleg levonta előző műve, a Fogalomírás hűvös fogadtatásának tanulságait, és megfogadta Carl Stumpf azon tanácsát, hogy a kérdéses témába vágó gondolatait és indokait fejtse ki részletesen is a nagyközönség számára érthetőbb, köznyelven írott formában, mivelhogy „ez mindkét munka fogadtatására nézve kedvezőbb lenne”.

Tartalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(az oldalszámozás az Áron Kiadónál megjelent kiadásra vonatkozik (ld. Irodalom).

Fejezet vagy
bekezdés száma
A fejezet címe vagy egy alfejezet hosszabb-rövidebb, egy-két mondatos összefoglalója Oldalszám

Bevezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

    Bevezetés
(Előszó)
11.
  Bevezetés 21.
 1. §    A matematikában újabban felismerhető a törekvés a bizonyítások szigorúságára és a fogalmak pontos megragadására.
 2. §    A vizsgálatnak végső soron ki kell terjednie a számosság fogalmára. A bizonyítás célja.
 3. §    Az ilyen vizsgálódás filozófiai indítékai: azon vitás kérdések, hogy a számok torvényei vajon analitikus vagy szintetikus igazságok, a prioriak vagy a posterioriak-e. E kifejezések értelme.
 4. §    Könyvünk feladata

I. fejezet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 I. f. Néhány szerző véleménye
az aritmetikai tételek természetéről
25
    Bizonyíthatóak-e a számformulák? 25
 5. §    Kant tagadja ezt; nézetét Hankel joggal nevezi paradoxnak.
 6. §    Leibniz bizonyítása arra, hogy 2+2=4, tartalmaz egy hézagot. Grassmann definíciója a+b-re hibás.
 7. §    Mill nézete, miszerint az egyes számok definíciói megfigyelt tényeket állapítanak meg, megalapozatlan.
 8. §    Ezeknek a definícióknak a jogosságához nem szükséges a szóban forgó tények megfigyelése
  Induktív igazságok-e az aritmetika törvényei? 31
 9. §    Mill természettörvénye. Amikor Mill aritmetikai igazságokat természettörvénynek nevez, összetéveszti ezeket alkalmazásaikkal.
 10. §    Indokok azzal szemben, hogy az összeadás törvényei induktív igazságok: a számok nem egyformák; nem áll, hogy már a definíció által birtokunkban van a számok közös tulajdonságainak egy csoportja; valószínűleg megfordítva, az indukciót kell az aritmetikára alapozni.
 11. §    A leibnizi „velünk született”
  Az aritmetika törvényei szintetikus a prioriak-e,
vagy pedig analitikusak?
36
 12. §    Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. A belső szemlélet, mint megismerési alap.
 13. §    Az aritmetika és a geometria különbözősége.
 14. §    Az igazságok összehasonlítása az általuk kormányzott terület szempontjából.
 15. §    Leibniz és St. Jevons nézetei.
 16. §    Hogyan becsüli le ezzel szemben Mill „a nyelv ügyes kezelését”. A jelek azért még nem üresek, mert semmi észlelhetőt nem jelentenek.
 17. §    Az indukció elégtelensége. Feltételezzük, hogy a számok törvényei analitikus ítéletek; miben áll akkor a hasznuk. Az analitikus ítéletek értékéről

II. fejezet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 II. f.  Néhány szerző véleménye
a számosság fogalmáról
43
 18. §    A számosság általános fogalma vizsgálatának szükségessége.
 19. §    A definíció nem lehet geometriai.
 20. §    Definiálható-e a szám? Hankel. Leibniz
  Külső dolgok tulajdonsága-e a számosság? 45
 21. §    M. Cantor és E. Schröder véleménye.
 22. §    Ezzel szemben Baumann: a külső dolgok nem képeznek szigorú egységeket. A számosság látszólag a mi felfogásunktól függ.
 23. §    Mill véleménye, mely szerint a szám dolgok aggregátumainak a tulajdonsága, tarthatatlan.
 24. §    A szám átfogó alkalmazhatósága. Mill. Locke. Leibniz testetlen metafizikai alakzata. Ha a szám valami érzéki volna, nem lehetne nem érzéki dolgoknak tulajdonítani.
 25. §    Mill fizikai különbségtétele 2 és 3 között. Berkeley szerint a szám nincs reálisan a dolgokban, hanem a szellem alkotja azt.
  A szám valami szubjektív-e? 50
 26. §    Lipschitz leírása a számok képzéséről nem találó és nem helyettesítheti a fogalmi meghatározást. A szám nem a pszichológia tárgya, hanem valami objektív.
 27. §    A szám nem az, aminek Schloemilch véli: egy objektum valamely sorozaton belüli helyének a képzete
  A számosság, mint halmaz 54
 28. §    Thomae névadása

III. fejezet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 III. f. Vélemények az egységről és az egyről 55
  Tárgyak tulajdonságát fejezi-e ki
az „egy” számnév?
55
 29. §   A „monasz” és „egység" kifejezések sokértelműsége. E. Schröder azon meghatározása, mely szerint az egység a megszámlálandó tárgy, láthatóan céltalan. Az „egy” jelző nem tartalmaz semmi közelebbi meghatározást, nem fogható fel predikátumként.
 30. §   Leibniz és Baumann meghatározási kísérletei nyomán az egység fogalma, úgy látszik, teljesen eltűnik.
 31. §   Baumann szerint az ismertetőjegyek: osztatlanság és elhatároltság. Az egység Idáját nem mi fűzzük hozzá minden egyes objektumhoz (Locke).
 32. §   A nyelv mégis mutat valamilyen összefüggést az osztatlansággal és elhatároltsággal, azonban más értelemben.
 33. §   Az oszthatatlanság, mint ismertetőjegy (G. Köpp) nem tartható
  Egyenlőek-e egymással az egységek? 60
 34. §   Az egyenlőség, mint az „egység” név alapja. E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Ha elvonatkoztatunk a dolgok különbözőségétől, ezzel nem kapjuk meg a számosság fogalmát, és a dolgok sem lesznek ezáltal egyenlőek.
 35. §   A különbözőség még szükséges is, ha sokaságról kell beszélnünk. Descartes. E. Schröder. St. Jevons.
 36. §   Az egységek különbözőségének nézete is nehézségekbe ütközik. Különböző egységek St. Jevonsnál.
 37. §   Locke, Leibniz, Hesse számmeghatározásai az egységről vagy az egyről.
 38. §   Az „egy” tulajdonnév, az „egység” fogalomszó. A szám nem definiálható. egységekként. Az „és” és a + különbözősége.
 39. §   Az „egység” többértelműsége fedi el annak nehézségét, hogy összebékítsük az egységek egyenlőségét és különbözőségét
  Kísérletek a nehézség áthidalására 67
 40. §   Tér és idő, mint a megkülönböztetés eszközei. Hobbes. Thomae. Ezzel szemben: Leibniz, Baumann, St. Jevons.
 41. §   Nem érünk célhoz.
 42. §   A sorozaton belüli hely mint a megkülönböztetés eszköze. Hankel tételezése.
 43. §   Schrödeτ a tárgyakat az 1 jellel képezi le.
  A nehézség megoldása 72
 45. §    Visszapillantás.
 46. §   A szám megadása egy fogalomról szóló kijelentést tartalmaz. Az az ellenvetés, mely szerint változatlan fogalom mellett a szám megváltozna.
 47. §   A számmegadás tényszerűségét a fogalom objektivitása magyarázza.
 48. §    Némely nehézségek feloldása.
 49. §    Megerősítés Spinozánál.
 50. §    E. Schröder fejtegetése.
 51. §    Ennek helyesbítése.
 52. §   Megerősítés egy német szófordulat által.
 53. §   Különbség egy fogalom ismertetőjegyei és tulajdonságai között. Létezés és szám.
 54. §   Egységnek egy számmegadás alanyát nevezhetjük. Az egység oszthatatlansága és elhatároltsága. Egyenlőség és megkülönböztethetőség

IV. fejezet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 IV. f. A számosság fogalma 80
  Minden egyes szám önálló tárgy 80
 55. §   Kísérlet arra, hogy kiegészítsük Leibniznek az egyes számokra adott definícióit.
 56. §   A megkísérelt definíciók használhatatlanok, mert olyan kijelentést magyaráznak, amelynek a szám csupán egy része.
 57. §   A számmegadás számok közötti egyenlőségként tekintendő.
 58. §   Az az ellenvetés, hogy a szám nem képzelhető el önálló tárgyként. A szám egyáltalában elképzelhetetlen.
 60. §   Még konkrét dolgok sem mindig elképzelhetőek. Ha egy szó jelentése után kérdezünk, akkor mondatban kell azt vizsgálnunk.
 61. §   Ellenvetés: a számok nem térbeliek. Nem minden tárgy térbeli
  Hogy a számosság fogalmához eljuthassunk,
rögzítenünk kell a számegyenlőségek értelmét
86
 62. §   Szükségünk van a számegyenlőség egy ismertetőjelére.
 63. §   Ilyen [ismertetőjel] az egyértelmű hozzárendelés lehetősége. Az a logikai kétség, hogy így nem adunk-e egyre az esetre külön meghatározást az egyenIőségre.
 64. §   Példák hasonló eljárásra: az irány, a síkok állása, a háromszögek alakja.
 65. §   Kísérlet a definícióra. Egy második kétely: eleget teszünk-e az egyenlőség törvényeinek.
 66. §   Harmadik kétely: az egyenlőség ismertetőjele nem elégséges.
 67. §   A kiegészítés nem történhet úgy, hogy a fogalom ismertetőjegyeként azt a módot vesszük, ahogy egy tárgyat bevezetünk.
 68. §    A számosság, mint fogalom terjedelme.
 69. §    Magyarázat
  Definíciónk kiegészítése és igazolása 94
 70. §    A kapcsolatfogalom.
 71. §    Hozzárendelés kapcsolatfogalom által.
 72. §    A kölcsönösen egyértelmű kapcsolat. A számosság fogalma.
 73. §    Az F fogalmat megillető számosság egyenlő azzal a számossággal, amely a G fogalmat megillett, ha van olyan kapcsolat, amely az F fogalom alá eső dolgokat kölcsönösen egyértelműen hozzárendeli a G alá esőekhez.
 74. §    Nulla az a számosság, amely az „önmagával nem egyenlő” fogalmat megilleti.
 75. §    Nulla számosság illeti meg azokat a fogalmakat, amelyek alá semmi nem esik.
 76. §    Az „n a természetes számok sorozatában közvetlenül következik m-re” kifejezés meghatározása.
 77. §  1 az a számosság, amely a „0-val egyenlő” fogalmat megilleti.
 78. §  Definíciónk segítségével bizonyítandó tételek.
 79. §  A sorozaton belüli rákövetkezés definíciója.
 80. §  Ide vonatkozó megjegyzések. A rákövetkezés objektivitása.
 81. §  Az „x az y-nal végződő φ-sorozathoz tartozik” kifejezés definíciója.
 82. §  Vázlatos bizonyítása annak, hogy a természetes számok sorozatában nincs utolsó tag.
 83. §  A véges számosság definíciója. Nincs olyan véges számosság, amely a természetes számok sorozatában saját magára következne
  Végtelen számosságok 108
 84. §  A „véges számosság” fogalmat megillető számosság végtelen.
 85. §  A Cantor-féle végtelen számosságok; „kardinális szám”. Eltérés a megnevezésben.
 86. §  Cantor szukcesszív rákövetkezése és az én sorozatbeli-rákövetkezésem

V. fejezet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

 IV. f. Befejezés 110
 87. §   Az aritmetikai törvények természete.
 88. §   Kant lebecsülő véleménye az analitikus ítéletekről.
 89. §   Kant tétele, mely szerint „érzékiség nélkül nem volnának számunkra adott tárgyak”. Kant érdeme a matematikát illetően.
 90. §   Az aritmetikai törvények analitikus természetének teljes kimutatásához még hiányzik egy hézagmentes következtetési lánc.
 91. §   Ennek a hiánynak a pótlása fogalomírásom segítségével lehetséges
  Másféle számok 115
 92. §   A számok lehetségességének értelme Hankel szerint.
 93. §   A számok sem a térben rajtunk kívül vannak, sem pedig szubjektívek.
 94. §   Egy fogalom ellentmondásmentessége nem biztosítja, hogy van, ami a fogalom alá esik, és önmagában is bizonyításra szorul.
 95. §   (c-b)-t nem tekinthetjük minden további nélkül olyan jelnek, ami megoldja a kivonás feladatát
 96. §   A matematikus sem alkothat bármit önkényesen
 97. §   A fogalmakat meg kell különböztetni a tárgyaktól
 98. §    Hankel meghatározása az összeadásra
 99. §    A formális elmélet hiányosságai
 100. §   A komplex számok kimutatásának azon kísérlete, hogy a szorzás jelentését sajátos módon értelmezik
 101. §   Egy ilyen kimutatás lehetősége nem közömbös a bizonyítás hordereje szempontjából
 102. §   Annak puszta megkövetelése, hogy egy művelet végrehajtható legyen, nem kielégítése a követelménynek
 103. §   Kossak meghatározása a komplex számokra csak utalás egy definícióra, és nem kerüli el a különnemű belekeverését. A geometriai ábrázolás
 104. §   Az a cél, hogy az új számokra is rögzítsük egy újrafelismerési ítélet értelmét
 105. §   Az aritmetika vonzereje észjellegében rejlik
 106.-109. §    Visszapillantás 124
   A Grundlagen kontextusai (a fordító utószava) 129
    Irodalom 154

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]