Automorfizmus (csoportelmélet)

Az absztrakt algebra csoportelmélet nevű ágában automorfizmus a neve az olyan bijektív leképezésnek, amely művelettartó és egy csoportot önmagára képez le.

Definíció

Legyen $G$ egy csoport, és legyen $\varphi:G \rightarrow G$ bijektív leképezés (azaz $G$ különböző elemeihez $\varphi$ különböző elemeket rendel, és $G$ minden eleme előáll $G$ valamely elemének képeként). Ezt a leképezést automorfizmusnak nevezzük, ha bármely $a,b \in G$-re $\ \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$. Az automorfizmusok tehát olyan izomorfizmusok, amelyek egy csoportot önmagára képeznek le.

Példák

• Tetszőleges csoportnak automorfizmusa az identikus leképezés, vagyis az a leképezés, amely minden elemhez saját magát rendeli. Ezt az automorfizmust szokás triviális automorfizmusnak nevezni.
• A valós számok additív csoportjának automorfizmusa az a leképezés, amely minden valós számhoz a háromszorosát rendeli.
• A sík egybevágóságai által alkotott csoportnak automorfizmusa az a leképezés, amely minden $S$ egybevágósághoz a $TST$ egybevágóságot rendeli, ahol $T$ egy adott egyenesre való tükrözés.

Automorfizmus-csoport

Egy csoport automorfizmusai (a leképezések összetételével, mint művelettel) maguk is csoportot alkotnak. A $G$ csoport automorfizmusainak csoportját $Aut(G)$-vel jelöljük. $Aut(G)$ egységeleme az identikus leképezés.

Belső automorfizmusok

Legyen $g \in G$, és jelölje $\tau_g$ azt a leképezést, amely tetszőleges $x \in G$-hez annak a $g$-vel vett $g^{-1}xg$ konjugáltját rendeli. Akkor $\tau_g$ automorfizmusa $G$-nek. Az ilyen automorfizmusokat belső automorfizmusnak nevezzük.

Egy csoport belső automorfizmusai (a leképezések összetételével, mint művelettel) maguk is csoportot alkotnak. A $G$ csoport belső automorfizmusainak csoportját $Inn G$-vel jelöljük. $Inn G$ normálosztója $Aut G$-nek. Az $Inn G / Aut G$ faktorcsoportot $G$ külső automorfizmus-csoportjának nevezzük és $Out G$-vel jelöljük.

$G$ különböző elemeiből származhat ugyanaz a belső automorfizmus. Speciálisan $\ \tau_g=\tau_1=1_{Aut G}$, ha g centrumelem. $Inn G$ izomorf a $G/Z(G)$ faktorcsoporttal, és így $Inn(G)=1$ akkor és csak akkor, ha $G$ kommutatív.

Nemtriviális automorfizmus-csoportok

Az egy- és a kételemű csoport automorfizmus-csoportja triviális (csak az identikus leképezést tartalmazza). Minden más $G$ csoport automorfizmus-csoportja nemtriviális. Ezt a következő gondolatmenet igazolja:

Ha $G$ nem kommutatív, és például az $a, x\in G$ elemek nem kommutálnak, akkor x-nek a $\tau_a$ belső automorfizmusnál vett képe x-től különböző, így $\tau_a$ nem az identikus leképezés és ezért $Aut G$ nem triviális.

Ha $G$ kommutatív, akkor $Aut G$-nek eleme az a leképezés, ami tetszőleges $g \in G$-hez annak $g^{-1}$ inverzét rendeli. Ez éppen akkor nem az identikus leképezés, ha van olyan $x \in G$ elem, hogy $x^{-1}\neq x$ vagyis $x^2\neq 1$. Ha ilyen elem nincsen, azaz minden nemegység elem másodrendű, akkor $G$ felfogható egy a kételemű $F_2$ test feletti vektortér additív csoportjaként, és e vektortér bármely nemnulla determinánsú, nem-identikus lineáris transzformációja $G$-nek nemtriviális automorfizmusa.

Anti-automorfizmusok

Anti-automorfizmusnak nevezzük a $G$ csoport olyan önmagára való $\varphi:G \rightarrow G$ bijektív leképezését, amely a szorzás sorrendjét megváltoztatja, azaz amelyre $\varphi(ab)=\varphi(b)\varphi(a)$. $G$ anti-automorfizmusainak halmazát $Antaut G$ jelöli. Ha G Abel-csoport, akkor persze $Antaut G$ egybeesik $Aut G$-vel. Egyszerű példa anti-automorfizmusra az a leképezés, ami tetszőleges $g \in G$-hez annak $g^{-1}$ inverzét rendeli, hiszen $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$. $Antaut G \bigcup Aut G$ csoportot alkot a leképezésszorzásra, mint műveletre nézve. Ebben a csoportban $Aut G$ direkt tényező.

Története

Csoportautomorfizmusokat először William Rowan Hamilton ír matematikus említett 1856-ban az Icosian Calculus című művében.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Rose, John S. Group Theory (angol nyelven). New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68194-7 (1994)