Automorfizmus (csoportelmélet)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az absztrakt algebra csoportelmélet nevű ágában automorfizmus a neve az olyan bijektív leképezésnek, amely művelettartó és egy csoportot önmagára képez le.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen G egy csoport, és legyen \varphi:G \rightarrow G bijektív leképezés (azaz G különböző elemeihez \varphi különböző elemeket rendel, és G minden eleme előáll G valamely elemének képeként). Ezt a leképezést automorfizmusnak nevezzük, ha bármely a,b \in G-re \ \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b). Az automorfizmusok tehát olyan izomorfizmusok, amelyek egy csoportot önmagára képeznek le.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Tetszőleges csoportnak automorfizmusa az identikus leképezés, vagyis az a leképezés, amely minden elemhez saját magát rendeli. Ezt az automorfizmust szokás triviális automorfizmusnak nevezni.
  • A valós számok additív csoportjának automorfizmusa az a leképezés, amely minden valós számhoz a háromszorosát rendeli.
  • A sík egybevágóságai által alkotott csoportnak automorfizmusa az a leképezés, amely minden S egybevágósághoz a TST egybevágóságot rendeli, ahol T egy adott egyenesre való tükrözés.

Automorfizmus-csoport[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy csoport automorfizmusai (a leképezések összetételével, mint művelettel) maguk is csoportot alkotnak. A G csoport automorfizmusainak csoportját Aut(G)-vel jelöljük. Aut(G) egységeleme az identikus leképezés.

Belső automorfizmusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen g \in G, és jelölje \tau_g azt a leképezést, amely tetszőleges x \in G-hez annak a g-vel vett g^{-1}xg konjugáltját rendeli. Akkor \tau_g automorfizmusa G-nek. Az ilyen automorfizmusokat belső automorfizmusnak nevezzük.

Egy csoport belső automorfizmusai (a leképezések összetételével, mint művelettel) maguk is csoportot alkotnak. A G csoport belső automorfizmusainak csoportját Inn G-vel jelöljük. Inn G normálosztója Aut G-nek. Az Inn G / Aut G faktorcsoportot G külső automorfizmus-csoportjának nevezzük és Out G-vel jelöljük.

G különböző elemeiből származhat ugyanaz a belső automorfizmus. Speciálisan \ \tau_g=\tau_1=1_{Aut G}, ha g centrumelem. Inn G izomorf a G/Z(G) faktorcsoporttal, és így Inn(G)=1 akkor és csak akkor, ha G kommutatív.

Nemtriviális automorfizmus-csoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egy- és a kételemű csoport automorfizmus-csoportja triviális (csak az identikus leképezést tartalmazza). Minden más G csoport automorfizmus-csoportja nemtriviális. Ezt a következő gondolatmenet igazolja:

Ha G nem kommutatív, és például az a, x\in G elemek nem kommutálnak, akkor x-nek a \tau_a belső automorfizmusnál vett képe x-től különböző, így \tau_a nem az identikus leképezés és ezért Aut G nem triviális.

Ha G kommutatív, akkor Aut G-nek eleme az a leképezés, ami tetszőleges g \in G-hez annak g^{-1} inverzét rendeli. Ez éppen akkor nem az identikus leképezés, ha van olyan x \in G elem, hogy x^{-1}\neq x vagyis x^2\neq 1. Ha ilyen elem nincsen, azaz minden nemegység elem másodrendű, akkor G felfogható egy a kételemű F_2 test feletti vektortér additív csoportjaként, és e vektortér bármely nemnulla determinánsú, nem-identikus lineáris transzformációja G-nek nemtriviális automorfizmusa.

Anti-automorfizmusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Anti-automorfizmusnak nevezzük a G csoport olyan önmagára való \varphi:G \rightarrow G bijektív leképezését, amely a szorzás sorrendjét megváltoztatja, azaz amelyre \varphi(ab)=\varphi(b)\varphi(a). G anti-automorfizmusainak halmazát Antaut G jelöli. Ha G Abel-csoport, akkor persze Antaut G egybeesik Aut G-vel. Egyszerű példa anti-automorfizmusra az a leképezés, ami tetszőleges g \in G-hez annak g^{-1} inverzét rendeli, hiszen (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}. Antaut G \bigcup Aut G csoportot alkot a leképezésszorzásra, mint műveletre nézve. Ebben a csoportban Aut G direkt tényező.

Története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Csoportautomorfizmusokat először William Rowan Hamilton ír matematikus említett 1856-ban az Icosian Calculus című művében.[1]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Sir William Rowan Hamilton (1856.). „Memorandum respecting a new System of Roots of Unity”. Philosophical Magazine 12, 446. o.