Affin kombináció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az affin kombináció és a rá épülő affin koordináták fogalma a matematikában elsősorban az euklideszi geometria egyik ága, az affin geometria algebrai leírására szolgálnak, noha maga a fogalom a lineáris algebra részeként is tárgyalható (újabban meg is teszik).

Az affin geometriának két alapvető ágát vagy paradigmáját különböztethetjük meg.

  • A (kontinuum)-geometriai vonal: tárgyalható a hagyományos euklideszi geometria részeként, ekkor úgy jelenik meg, mint az egyenestartó transzformációk elmélete – e leképezések minden egyenest egy neki megfelelő egyenesbe képeznek.
  • A diszkrét matematikai-kombinatorikai vonal: a véges (véges sok pontot tartalmazó) affin geometria és általában a véges geometria pedig a kombinatorika egyik ága.

Ilyen egyenestartó transzformációk például a képszerkesztő programokból talán jól ismert, valamely – függőleges, vízszintes – irányba történő nyújtások. Az efféle affin transzformációk vektoralgebrai eszközökkel is leírhatóak, s eme leírásnak épp az affin kombinációk és az affin koordináták szolgálnak alapként. Néhány vektor affin kombinációja pedig e vektorok súlyozott összege (azaz lineáris kombinációja), ahol a súlyok (együtthatók) összege 1; a matematikailag pontosabb leírás lentebb olvasható.

Az affin kombináció általános definíciója vektorterekben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Megjegyzés: használni fogjuk többtagú összeg jelölésére a  \sum_{i=1}^{u} t_{i} := t_{1} + t_{2} + \cdots + t_{u} (ahol u∈ℕ) ún. szummajelet, bár a lentiek ennek ismeretétől függetlenül is érthetőek. A szummajel használatáról ld. az összeg címszavunkat.

Legyen adott egy T test feletti L=\left( T,V,+ \right) (1 \in T egységelemmel rendelkező) vektortér (lineáris tér).

Ekkor adott

  •  \left( \alpha _{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)}  = \left( \alpha _{1} , \alpha _{2},\cdots, \alpha _{n} \right) \in T^{n} skalárrendszer és
  •  \left( a_{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)} = \left( a_{1} , a_{2},\cdots, a_{n} \right) \in V^{n} vektorrendszer esetén, (ahol n \in \mathbb{N} ), a
 \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot a_{i}} = \alpha_{1} a_{1} + \alpha_{2} a_{2} + \cdots +\alpha_{n} a_{n}

lineáris kombinációt az adott a_{i} vektorok \alpha _{i} skalárokkal (az együtthatókkal) vett affin kombinációjának nevezik, amennyiben \sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i}}=1 is teljesül.

A fogalomnak jobbára a hagyományos euklideszi geometriában van jelentősége.

Affin kombináció az euklideszi geometriában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hagyományos  \mathbb{E} euklideszi tér is könnyedén vektortér struktúrájúvá tehető, ha rögzítünk egy  O \in \mathbb{E} pontot, az origót, és tetszőleges P \in \mathbb{E} pontot azonosítjuk a  \underline{p} = \vec{O\! P} helyvektorral.
A fenti definíció ekkor ilyen alakot ölt:

Definíció: Legyenek adottak a  \left( P_{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)} = \left( P_{1} , P_{2},\cdots, P_{n} \right) \in E^{n} pontok. E pontok  \sum_{i=1}^{n} {\alpha_{i}}=1 tulajdonságot kielégítő,  \left( \alpha _{i} \right) _{i \in (1,2,\cdots n)}  = \left( \alpha _{1} , \alpha _{2},\cdots, \alpha _{n} \right) \in \mathbb{R}^{n} , skalárokkal képezett affin kombinációja az a  Q \in \mathbb{E} pont, amelynek \underline{q} helyvektorára teljesül:

\underline{q} = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot  \underline{p}_{i}} = \alpha_{1} \underline{p}_{1} + \alpha_{2} \underline{p}_{2} + \cdots +\alpha_{n} \underline{p}_{n}

Azaz melyre

 \vec{O\!Q} = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot  \vec{O\!P}_{i}} = \alpha_{1} \vec{O\!P}_{1} + \alpha_{2} \vec{O\!P}_{2} + \cdots +\alpha_{n} \vec{O\!P}_{n}


teljesül.

Ezt röviden, az O kezdőpont elhagyásával (amire a II. Megjegyzés jogosít fel) így is szokás írni (a:

 Q = \sum_{i=1}^{n}{\alpha_{i} \cdot P_{i}} = \alpha_{1} P_{1} + \alpha_{2} P_{2} + \cdots +\alpha_{n} P_{n}


Megjegyzés I.: A fenti definíció tetszőleges véges dimenziós  \mathbb{E} euklideszi térre is érvényes.
Megjegyzés II.: Nem nehéz belátni, hogy egy pontrendszer affin kombinációja független a koordináta-rendszertől, azaz az O kezdőpont megválasztásától! Adott pontrendszer adott számokkal való affin kombinációja mint helyvektor nem ugyanonnan bár, de mindig ugyanabba a pontba mutat, akárhogy változtatjuk is az O pontot. Ez azért lehetséges, mivel megköveteltük, hogy az együtthatók összege 1 legyen. Az 1-en kívül nincs olyan valós szám, ami ugyanennek az állításnak eleget tenne.

Belátható, hogy:

  • Két (különböző) pont összes affin kombinációinak halmaza a két pontot összekötő egyenes (ld. Kiegészítés);
  • Három nem egy egyenesbe eső pont összes affin kombinációja pedig a három pontra fektethető sík;
  • Négy nem egy síkban fekvő pont összes affin kombinációja pedig a teljes tér;
    • Ráadásul a tér minden pontja egyértelműen áll elő a négy pont egy-egy affin kombinációjaként;
  • Általában pedig az n-dimenziós euklideszi tér minden pontja egyértelműen áll elő n+1 darab „független”, de egyébként tetszőleges pont affin kombinációjaként (függetlenek a pontok, ha semelyik kettő nem esik egybe, semelyik három nem esik egy egyenesre, semelyik négy egy síkba, …, és általában semelyik i + 1 darab nem esik egyszerre egy i térdimenziós altérbe). Lentebb közöljük a bizonyítását ennek.

Ez utóbbi az alapja a térbeli affin koordináták bevezetésének.

Az affin kombináció speciálisabb és jóval érdekesebb esetei a konvex kombinációk, illetve a súlyozott pontrendszerek súlypontjai (Például konvex kombinációkról akkor beszélünk, ha az együtthatók mind nemnegatívak).

Kiegészítés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két pont affin kombinációi[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tekintsük az  \mathbb{S} síkban az  \underline{a}, \underline{b} helyvektorokkal adott különböző  A,B \in \mathbb{S} pontokat, ekkor, minthogy érvényes  \underline{a} + \vec{A\!B} = \underline{b}, írható  \vec{AB}=\underline{b} - \underline{a} . Mármost a vektor számmal való szorzásának definíciója szerint, ha <A,B> jelöli az A,B pontokon átmenő egyenest, akkor  P \in <A,B> \Leftrightarrow \vec{A\!P} = \lambda \vec{A \! B} valamilyen  \lambda \in \mathbb{R} valós számmal, azaz

 \vec{A\!P} = \lambda \left( \underline{b} - \underline{a} \right)

.

Így adható meg az összes, <A,B> egyenesen fekvő P pont helyzete az A-hoz viszonyítva, hogy alkalmazkodjunk az érvényes koordináta-rendszerhez és megkapjuk a P pontok helyvektorait, azt kell megnéznünk, hogyan juthatunk az origóból P-be, nos úgy, hogy először elmegyünk az A pontba (a  \underline{a} vektorral elmozdulva), és aztán az A-ból a P-be (hozzáadjuk az eddigi elmozduláshoz még a  \vec{A\!P} vektort). Összesen tehát

 \underline{p} = \underline{a} + \vec{A\!P} = \underline{a} + \lambda \left(  \underline{b} - \underline{a} \right) = \underline{a} +  \lambda \underline{b} - \lambda \underline{a} = \left( 1- \lambda \right) \underline{a} + \lambda \underline{b} .

Ezzel beláttuk a következőt: egy P pont akkor és csak akkor van rajta az <A,B> egyenesen, ha felírható az A,B pontok helyvektorainak olyan lineáris kombinációjaként, melyben az együtthatók összege 1 ( \left( 1-\lambda \right) + \lambda = 1 ), tehát ha felírható az egyenes e két pontjának affin kombinációjaként.

Véges dimenziós euklideszi tér pontjainak affin előállítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Valójában hasonló gondolatmenettel lehet belátni az analóg állítást tetszőleges  n \in \mathbb{N} véges n-dimenziós  \mathbb{E}^{n} euklideszi térre.

Legyenek adva az  A_{1}, A_{2}, \cdots , A_{n+1} pontok, melyekhez valamelyiket kezdőpontul választva – legyen  A_{k} , ahol  k \in \mathbb{N} és  1 \le k \le n+1 - az  \underline{a} _{1} = \vec{A_{k}\!A_{1}},  \underline{a} _{2} = \vec{A_{k}\!A_{2}},  \cdots , \underline{a} _{n} = \vec{A_{k}\!A_{n}}, \underline{a} _{n+1} = \vec{A_{k}\!A_{n+1}} helyvektorok tartoznak. Ez n+1 db. vektor lesz, de mivel az egyik épp a  \underline{0} = \underline{a}_{k} = \vec{A_{k}\!A_{k}} nullvektor, valójában olyan, mintha csak n vektorunk volna (ez csak egy bizonyítástechnikai probléma, a következők érvényességét nem befolyásolja).

Tegyük fel, hogy e pontok – értsd: a megfelelő vektorok, az előbb említett nullvektort beleértve – lineárisan függetlenek, azaz az általuk meghatározott (generált) altér pontosan n-dimenziós, vagyis épp  \mathbb{E}^{n} (ugyanis n-dimenziós térnek nincs valódi n-dimenziós altere, csak önmaga). Tehát minden  P \in \mathbb{E}^{n} pont előáll az adott vektorok lineáris kombinációjaként, mégpedig egyértelműen (s ezen az sem változtat, ha egy  \underline{a}_{k} = \underline {0} nullvektort is hozzáírunk a lenti összeghez,  \alpha_{k}=0 nulla együtthatóval, hogy az együtthatók összege se változzon):

 \vec{A_{k} \! P} = \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i} \vec{A_{k} \! A_{i}} = } \alpha_{1} \vec{A_{k} \! A_{1}} + \alpha_{2} \vec{A_{k} \! A_{2}} + \cdots +\alpha_{n} \vec{A_{k} \! A_{n}} + \alpha_{n+1} \vec{A_{k} \! A_{n+1}}

Azaz

 \underline{p} - \underline{a}_{k} = \alpha_{1} \left( \underline{a}_{1} - \underline{a}_{k} \right) + \alpha_{2} \left( \underline{a}_{2} - \underline{a}_{k} \right)+ \cdots +\alpha_{n} \left( \underline{a}_{n} - \underline{a}_{k} \right) +\alpha_{n+1} \left( \underline{a}_{n+1} - \underline{a}_{k} \right)  =


 = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } - \sum_{i=1}^{n+1} { \alpha_{i} \underline{a}_{k} } = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } - \underline{a}_{k} \cdot \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i}}



Innen, hozzáadva ehhez az egyenlőséghez  \underline{a}_k -t,

  \underline{p} = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } - \underline{a}_{k} \cdot \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i}} + \underline{a}_k = \sum_{i=1}^{n+1}{ \alpha_{i} \underline{a}_{i} } + \left( 1- \sum_{i=1}^{n+1} {\alpha_{i}} \right) \underline{a}_{k}



Ez utóbbi pedig az n-dimenziós tér tetszőleges P pontjának előállítása az  \underline{a}_{i} vektorok affin kombinációjaként, minthogy az együtthatók összege épp 1 (látható, még az a biztonsági követelmény is fölösleges volt, hogy  \alpha_{k}=0 legyen).

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]