A háromszög beírt köre és hozzáírt körei

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A háromszög beírt köre és hozzáírt körei

A geometriában a háromszög beírt köre vagy a háromszögbe írt kör olyan kör, amely a háromszög minden oldalát érinti, középpontja a belső szögfelezők metszéspontja, sugara a kör középpontját és az érintési pontokat összekötő szakasz (azaz a középpontból az oldalakra állított merőleges szakasz hossza). A beírt körnek nagy a jelentősége a háromszögek geometriájában.

A háromszög beírt köre által meghatározott Gergonne pont (Ge)

Hozzáírt kör[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hozzáírt kör a háromszög egyik oldalát és a másik két oldalának meghosszabbítását érintő kör. Minden háromszögnek három hozzáírt köre van.

A hozzáírt körök középpontjai megkaphatók a háromszög egy belső és a háromszög két másik szögéhez tartozó külső szögfelező metszéspontjaként. Ezek a pontok olyan háromszöget alkotnak, aminek magasságpontja a beírt kör középpontja.

A beírt kör középpontja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tétel: A háromszög beírt körének középpontja a háromszög három szögfelezőjének közös metszéspontja.

Bizonyítás: Az α szög felezőjének minden pontja egyenlő távolságra van az AB és a CA oldalaktól. Hasonlóan, a β szög felezőjének pontjai egyenlő távolságra fekszenek a BC és az AB oldalaktól. A két szögfelező metszéspontjai tehát egyenlő távolságra vannak mindhárom oldaltól, ezért a harmadik szögfelezőnek is át kell mennie ezen a ponton.

A beírt kör a háromszög minden oldalát belülről érinti, míg a hozzá írt körök kívülről érintenek egy-egy oldalt, és a két oldalegyenest a háromszögön kívül. Mindegyik kör középpontja a háromszög nevezetes pontjai közé tartozik.

A beírt kör középpontjának trilineáris koordinátái 1:1:1, baricentrikus koordinátái a:b:c, ahol a : arra utal, hogy ezek a koordináták csak konstans szorzó erejéig vannak meghatározva.

A beírt kör sugara[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje a háromszög oldalait a, b, c, a háromszög kerületének felét s, a háromszög területét T!

Ekkor a beírt kör sugara

r = \frac{2 T}{a+b+c} = \sqrt{\frac{(s-a) (s-b) (s-c)}{s} } (Hérón-képlet)

A sugár egy oldal és a rajta fekvő két szög ismeretében is kiszámítható:

r = \frac{a}{\mathrm{ctg}\left(\frac{\beta}{2}\right) + \mathrm{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
= \frac{b}{\mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \mathrm{ctg}\left(\frac{\gamma}{2}\right)}
= \frac{c}{\mathrm{ctg}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \mathrm{ctg}\left(\frac{\beta}{2}\right)}

A hozzáírt körök sugara[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A BC oldalhoz tartozó hozzáírt kör sugara:

\varrho_a = \frac{2 T}{b+c-a}

A másik két hozzáírt kör \varrho_b és \varrho_c sugara hasonlóan számítható.

A Hérón-képlet alapján:

\varrho_a = \sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}.

Hasonlóan, a másik két hozzáírt kör sugara:

\varrho_b = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-c)}{s-b}} és \varrho_c = \sqrt{\frac{s(s-a)(s-b)}{s-c}}.

Érintési pontok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A továbbiakban c_a jelöli a C csúcs és az a oldalhoz írt kör a, illetve boldalegyenesen levő érintési pontjainak távolságát. Hasonlóan, b_a jelöli a B csúcs és az a oldalhoz írt kör a, illetve coldalegyenesen levő érintési pontjainak távolságát. Analóg módon jelöljük a csúcsok és a másik két hozzáírt kör érintési pontjainak távolságát.

c_a = a_c = s - b

c_b = b_c = s - a,

a_b = b_a = s - c.

Ha az érintési pontokat összekötjük a velük szemben fekvő csúccsal, akkor a kapott egyenesek egy ponton mennek át, a Nagel-ponton.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Reiman István: Geometria és határterületei
  • H. S. M. Coxeter und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983.