2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia

A 2. Nemzetközi Matematikai Diákolimpiát (1960) Romániában, Szinajában rendezték. Öt ország negyven versenyzője vett részt rajta. Magyarország két arany-, két ezüstérmet és egy dicséretet szerzett, összpontszámával pedig 2-3. lett az országok között.
(Az elérhető maximális pontszám: 8×45=360 pont volt)

Feladatok

1.

Adjuk meg az összes olyan háromjegyű számot, amely egyenlő számjegyei négyzetösszegének 11-szeresével.

2.

Milyen valós $x$-ekre teljesül a következő egyenlőtlenség:

${\frac {4x^{2}}{(1-{\sqrt {1+2x}})^{2}}}<2x+9$.

3.

Az $ABC$ derékszögű háromszög $a$ hosszú $BC$ átfogóját $n$ egyenlő szakaszra osztottuk ($n$ páratlan pozitív egész). Jelöljük $\alpha$-val azt a szöget, ami alatt az átfogó felezőpontját tartalmazó szakasz látszik $A$-ból. Legyen $h$ az átfogóhoz tartozó magasság. Bizonyítsuk be, hogy

${\mbox{tg }}\alpha ={\frac {4nh}{(n^{2}-1)a}}$.

4.

Adott az $ABC$ háromszög $A$-ból és $B$-ből induló $m_{a}$ ill. $m_{b}$ magassága és az $A$-ból induló $s_{a}$ súlyvonala. Szerkesszük meg a háromszöget.

5.

Vegyük az $ABCDA'B'C'D'$ kockát (ahol $A'B'C'D'$ pontosan $ABCD$ fölött van).

$a)$ Mi a mértani helye az $XY$ szakaszok felezőpontjainak, ahol $X$ az $AC$, $Y$ pedig a $B'D'$ lapátló tetszőleges pontja?

$b)$ Mi a mértani helye azon $Z$ pontoknak, amelyekre teljesül hogy rajta van valamely ilyen $XY$ szakaszon úgy, hogy $ZY=2XZ$?

6.

Adott egy forgáskúp. Írjunk bele gömböt, majd e gömb köré rajzoljunk hengert úgy, hogy a henger és a kúp alaplapja egy síkba essen. Legyen $V_{1}$ a kúp, $V_{2}$ a henger térfogata.

$a)$ Bizonyítsuk be, hogy $V_{1}\neq V_{2}$.

$b)$ Keressük meg a legkisebb $k$-t, amire $V_{1}=kV_{2}$, majd szerkesszük meg azt a szöget, amelyet $k$ minimumánál a kúp alkotói a tengelyével bezárnak.

7.

Adott egy szimmetrikus trapéz, amelynek alapja $a$ illetve $c$, magassága pedig $m$.

$a)$ Szerkesszük meg a szimmetriatengely azon $P$ pontját, amiből a szárak derékszög alatt látszanak.

$b)$ Számítsuk ki $P$ távolságát a száraktól.

$c)$ Mi a feltétele annak, hogy egyáltalán létezzen ilyen $P$ pont?

Országok eredményei pont szerint

	Ország	Pont				D
1.	Csehszlovákia	257	1	1	2	2
2.	Magyarország	248	2	2	0	1
	Románia	248	1	1	1	1
4.	Bulgária	175	0	0	1	2
5.	NDK	38	0	0	0	1

D – dicséret

A magyar csapat

A magyar csapat tagjai voltak:

Név	Évfolyam	Iskola	Város	Díj
Bollobás Béla	III. o.	Apáczai Csere János Gyakorlógimn.	Budapest
Mezei Ferenc	IV. o.	II. Rákóczi Ferenc Gimn.	Budapest
Fritz József	III. o.	Kossuth Lajos Gimn.	Mosonmagyaróvár
Muszély György	IV. o.	Vörösmarty Mihály Gimn.	Budapest
Komlós János	IV. o.	Apáczai Csere János Gyakorlógimn.	Budapest	dicséret
Gagyi Pálffy András	III. o.	Széchenyi István Gimn.	Budapest
Grűner György	III. o.	Kossuth Lajos Gimn.	Mosonmagyaróvár
Hahn János	IV. o.	Gépipari Technikum	Szeged

A csapat vezetője Hódi Endre volt.

Források

Reiman István – Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959-2003 Typotex 2003, Budapest (ISBN 963-9548-04-9)

Kapcsolódó szócikkek

• Nemzetközi Matematikai Diákolimpia
• Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák listája
• A Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák magyar versenyzői

További információk

• Az IMO hivatalos honlapja